Resolver una ecuación racional con multiplicación cruzada

Ecuaciones racionales

¿Podrías ayudarme con algo? Estoy plantando bulbos de flores en el jardín, y hay muchos bulbos para plantar, 200 para ser exactos. Puedo plantar 20 bulbos en una hora, así que si trabajo solo, me tomará 10 horas terminar. Sé que una vez dijiste que puedes plantar 30 bulbos en una hora. Estoy pensando que si trabajamos juntos, podemos terminar mucho más rápido.

Para averiguar cuánto más rápido podemos terminar si me ayudan, podemos hacer uso de una ecuación racional. Si me ayudas, podremos plantar 20 + 30 = 50 bulbos por hora. Podemos usar proporciones para establecer la siguiente ecuación.

Vemos que tenemos la ecuación 50/1 = 200 / x , donde x es el número de horas que nos tomará terminar el trabajo si trabajamos juntos. Este es un ejemplo de una ecuación racional.

En matemáticas, una ecuación racional es una ecuación que contiene expresiones racionales. Una expresión racional es simplemente una expresión algebraica dividida por una expresión algebraica. En nuestra ecuación, tenemos dos expresiones racionales, 50/1 y 200 / x .

Todo está muy bien, pero lo que realmente queremos saber es cómo resolver esta ecuación, para que podamos averiguar cuánto tiempo llevará este trabajo. La respuesta a esto radica en la multiplicación cruzada.

Multiplicación cruzada

Echemos un vistazo a la multiplicación cruzada, para que podamos continuar con este problema. La multiplicación cruzada es un proceso que usamos para resolver ecuaciones racionales. Cuando podemos simplificar una ecuación racional a dos expresiones racionales iguales entre sí, podemos usar este sencillo proceso para resolver. La imagen muestra cómo funciona la multiplicación cruzada.

Vemos que la multiplicación cruzada da la regla de que si a / b = c / d , entonces ad = bc . Podemos usar esta regla para eliminar las expresiones racionales en la ecuación y luego resolver la variable.

Pasos para resolver ecuaciones racionales usando multiplicación cruzada

Muy bien, sabemos qué es una ecuación racional y sabemos qué es la multiplicación cruzada. Ahora, veamos cómo usar la multiplicación cruzada para resolver ecuaciones racionales. Los pasos que seguimos para hacer esto son los siguientes.

1. Simplificar la ecuación para obtener en la forma de un / b = c / d , en donde una , b , c , y d son números, variables o expresiones algebraicas.
2. Usa la multiplicación cruzada para reescribir la ecuación como ad = bc .
3. Resuelve la ecuación resultante.

El primer paso consiste en simplificar una ecuación racional a la forma a / b = c / d . Este puede ser un paso complicado que constituiría una lección completa en sí mismo, por lo que en esta lección, solo trabajaremos con ecuaciones racionales que ya están en esta forma, como la de nuestro ejemplo de jardinería. Hablando de eso, tenemos todo lo que necesitamos ahora, ¡así que resolvamos este problema ya!

Tenemos la ecuación 50/1 = 200 / x , así que el paso uno ya está hecho. Lo siguiente que debe hacer es usar la multiplicación cruzada para reescribir la ecuación.

Vemos que 50/1 = 200 / x es equivalente a 50 x = 1 * 200 o 50 x = 200. ¡Genial! Continúe con el paso tres, que solo implica resolver esta ecuación. Para hacer esto, dividimos ambos lados de la ecuación por 50.

Vemos que x = 4. ¡Vaya! ¡Cuatro horas es mucho más rápido que 10! ¡Realmente espero que estés dispuesto a ayudarme!

Otro ejemplo

¡Estoy tan feliz de haber descubierto nuestro problema de jardinería! Echemos un vistazo a un ejemplo más. Después de todo, la práctica hace al maestro, así que cuanta más práctica podamos conseguir, más fácil será este proceso.

Suponga que Jesse tiene un bote que viaja a 38 millas por hora en aguas tranquilas. Jesse saca el bote al río y se da cuenta de que puede viajar 30 millas río abajo en la misma cantidad de tiempo que puede viajar 22 millas río arriba. Tiene curiosidad por saber la velocidad de la corriente del río. Bueno, ¡tengo buenas noticias! ¡Tiene toda la información que necesita para hacer esto!

Con base en la información dada, podemos encontrar la velocidad de la corriente resolviendo la siguiente ecuación.

Tenemos la ecuación 30 / (38 + x ) = 22 / (38 – x ), donde x es la velocidad de la corriente del río. Fíjate que esta es una ecuación racional y ya está en la forma a / b = c / d , por lo que podemos usar la multiplicación cruzada para resolver el problema.

Vemos que x = 5.846, por lo que la velocidad de la corriente del río es de aproximadamente 5.846 millas por hora. ¡Problema resuelto! Bastante ordenado, ¿eh?

Resumen de la lección

Una ecuación racional es una ecuación que contiene expresiones racionales. Una expresión racional se compone de una expresión algebraica dividida por otra expresión algebraica. La multiplicación cruzada es un proceso que podemos usar para resolver ecuaciones racionales usando los siguientes pasos.

1. Simplificar la ecuación para obtener en la forma de un / b = c / d , en donde una , b , c , y d son números, variables o expresiones algebraicas.
2. Usa la multiplicación cruzada para reescribir la ecuación como ad = bc .
3. Resuelve la ecuación resultante.

Tomar este tipo de ecuaciones a través de estos pasos, una a la vez, puede hacer que un problema aparentemente difícil sea bastante simple, lo cual es genial, ya que hemos visto que las aplicaciones que involucran este tipo de ecuaciones pueden aparecer fácilmente en nuestra vida diaria.