Resolviendo 1 ^ Infinito

1 ^ Infinito

Si tuviera que adivinar, ¿cuál pensaría que es la respuesta si eleva 1 a la potencia del infinito? Podrías pensar que es 1 ya que 1 elevado a cualquier potencia es 1. También te sorprenderá saber que estarías en lo cierto en algunas circunstancias. En otras circunstancias, sin embargo, estaría equivocado. Si se pregunta por qué en el mundo necesita saber esto, es porque encontrará estas cosas en sus pruebas, así como en el mundo real cuando se trata de finanzas y ciencia.

Ahora, no estamos hablando del simple problema del 1 al infinito. No, ahora estamos profundizando en problemas que implican tomar el límite de una función a medida que avanza hasta el infinito. Vea, algunos de estos problemas le darán un límite de 1 al infinito. Desafortunadamente, esta es una forma indeterminada , lo que significa que no se puede determinar un límite solo mirando los límites de las funciones por sí mismos, por lo que, en otras palabras, tendrá que hacer un trabajo adicional para encontrar realmente su respuesta.

Vamos a empezar.

Di que tienes este problema.

Este es un problema bastante interesante. Si bien al principio este problema puede no parecer un problema de 1 a infinito, en realidad se debe a que cuando intenta tomar un límite, obtiene 1 a infinito. Debido a que está lidiando con límites, este 1 hasta el infinito es una forma indeterminada, como discutimos hace un momento, lo que significa que es una respuesta que no puede usar. Necesitas una respuesta más concreta y no es tan simple como llevar 1 a la potencia infinita. Esto se debe a que cuando se trata de límites, sus respuestas son un poco más complicadas. Y para encontrar esta respuesta, deberá seguir estos pasos.

Paso 1 para resolver 1 ^ Infinito

Paso 1: reescribe el problema como e en el logaritmo natural de tu función. Luego tomará el límite de los exponentes de la función e .

Reescribiendo su problema como una e en el logaritmo natural de su problema de función y tomando el límite del exponente, obtiene esto.

Como estás usando el logaritmo natural, puedes traer el exponente de tu función, la x , delante del logaritmo natural. Esta es otra razón por la que está reescribiendo su problema como una e en el registro natural de su problema de función. Poder mover tu exponente te permite encontrar el límite mucho más fácilmente. Una vez que hayas movido el exponente de tu función, ahora puedes reescribir tu problema una vez más, esta vez moviendo el exponente de tu función, la x , al denominador. Como puede ver, ahora dice:

Definitivamente, esto se está volviendo un poco más complicado. Hacer esto configura su problema para que pueda aplicar la regla de L’Hopital. Tomando el límite una vez más, obtienes 0 sobre 0. Esto aún es indeterminado, pero esta vez, puedes usar la regla de L’Hopital para ayudarte, por lo que nuestro siguiente paso es el siguiente.

Paso 2 para resolver 1 ^ Infinito

Paso 2: aplique la regla de L’Hopital para que pueda encontrar su límite.

La regla de L’Hopital establece que si su límite es 0/0, entonces puede tomar la derivada tanto del numerador como del denominador y luego encontrar el límite de eso.

Entonces, aplicando la regla de L’Hopital, toma la derivada de su numerador y su denominador. Para obtener la derivada de su numerador, aplica las reglas de derivación para el logaritmo natural junto con la regla de la cadena y la regla para encontrar la derivada de dos funciones que están divididas. Como puedes ver:

Usando estas reglas, obtienes las derivadas tanto de tu numerador como de tu denominador. Luego, vuelve a tomar los límites de estos. Para tu problema, esto es lo que obtienes:

Después de haber tomado la derivada, ahora puede encontrar fácilmente que su límite sea 0. Ahora que encontró que su límite es 0, ahora puede encontrar su respuesta.

La solución de 1 ^ Infinito

Al encontrar la respuesta al elevar la función e a la potencia de 0, se obtiene 1. Entonces, el límite de la función 2 x / 3 x elevado a la potencia de x cuando llega al infinito es 1.

Pero solo porque este problema te dé una respuesta de 1, no significa que tu situación de 1 a infinito siempre será igual a 1. Hay otros problemas en los que obtendrás una respuesta diferente.

Ejemplo de No siempre 1

Eche un vistazo a este problema.

Descubrirás que tu respuesta no es realmente 1. Primero, intentar encontrar tu límite aquí te da la forma indeterminada de 1 a infinito. Ahora, sigue adelante y sigue los pasos.

Al reescribir este problema usando e al logaritmo natural de la técnica de su función, obtiene este problema donde el exponente de su función, x / 10, se ha movido.

Si toma el límite del exponente de la función e , encontrará que nuevamente obtiene una forma indeterminada. Esta vez, es 0/0. Sin embargo, dado que es 0/0, puede aplicar la regla de L’Hopital, que primero le da:

Y ahora puede encontrar fácilmente su respuesta, que, como puede ver, es simplemente:

¿Por qué esta respuesta no es 1? Parte de la razón por la que 1 ^ infinito es indeterminado es porque el límite en el infinito varía según la ecuación con la que comiences. ¡Así que ten cuidado!

Resumen de la lección

Dediquemos unos minutos a repasar lo que hemos aprendido sobre cómo encontrar los valores de 1 elevado a infinito. Primero aprendimos que 1 ^ infinito es una forma indeterminada , lo que significa que un límite no se puede calcular solo mirando los límites de las funciones por sí mismos. Sin embargo, hay dos pasos que podemos seguir y seguimos en esta lección para resolver la respuesta a este tipo de preguntas.

Paso 1: reescribe el problema como e en el logaritmo natural de tu función. Luego tomará el límite de los exponentes de la función e . Y Paso 2: aplique la regla de L’Hopital para que pueda encontrar su límite. Aprendimos que la regla de L’Hopital establece que si su límite es 0/0, entonces puede tomar la derivada tanto del numerador como del denominador y luego encontrar el límite de eso. Finalmente, también aprendimos que solo porque el problema involucra 1 ^ infinito y normalmente le da una respuesta de 1, no significa que su situación de 1 ^ infinito siempre será igual a 1. Esto se debe a que parte de la razón por la cual 1 ^ el infinito es indeterminado se debe a que el límite en el infinito varía según la pregunta con la que comiences.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador