Resta de Vectores: Definición, fórmula y ejemplos

Resta de vectores

Un escalar es una cantidad descrita por un valor único denominado magnitud. De esta forma, se puede modelar como un valor unidimensional. Los valores escalares parecen números normales, porque eso es lo que son: 0, 1, -8 o 4,2426. Como tal, la suma y resta con escalares es tan simple como sumar o restar dos números.

Un vector, sin embargo, es una cantidad descrita por dos valores escalares denominados magnitud y dirección. La dirección de un vector es un ángulo (conocido como theta o Θ) y su magnitud es el valor de la distancia que «recorre» el vector. Los vectores se pueden modelar como valores bidimensionales representados geométricamente en un gráfico como un segmento de línea.

Los vectores también se pueden representar por sus componentes y trabajar con ellos de esta manera simplifica muchas de sus matemáticas. Los vectores se utilizan a menudo en geometría y física tanto bidimensionales como tridimensionales, dependiendo de cuántos ejes estén representados por sus componentes.

Los componentes vectoriales se parecen a las coordenadas de un gráfico: (0,0), (1,2,8), (13,33,5,1), etc. Un vector en un espacio bidimensional está representado por dos valores de componentes, un vector en un espacio tridimensional está representado por tres valores de componentes y un vector en un espacio de n dimensiones está representado por n valores de componentes. Estos valores corresponden a la distancia a lo largo de cada eje que «recorre» el vector en función de su magnitud y dirección.

Encontrar vectores negativos a partir de componentes

Restar vectores es muy similar a restar escalares cuando se utilizan componentes vectoriales, ya que cada componente consta de un solo número. De la misma manera que la resta escalar se puede definir como sumar un escalar al valor negativo de otro escalar, la resta vectorial se puede definir como sumar un vector al valor negativo de otro vector.

Para encontrar el negativo de un vector, multiplica cada componente del vector por -1. Considere encontrar el negativo del vector (2,-5):

{eq}V = (2,-5) {/eq}

{eq}-1 \cdot V = -1\cdot (2,-5) {/eq}

{eq}-V = (-1\cdot 2,-1\cdot -5) {/eq}

{eq}-V = (-2,5) {/eq}

Este vector negativo ahora se puede sumar a cualquier otro vector para producir el resultado de la resta.

Este artículo se centrará en la resta de vectores utilizando componentes vectoriales y cubrirá tanto el método gráfico (usando un gráfico para encontrar el resultado) como el método algebraico (usando álgebra para encontrar el resultado sin un gráfico). Sin embargo, primero es necesario mostrar algunas fórmulas e ilustraciones básicas.

Encontrar componentes a partir de magnitud y dirección

Cuando los vectores en un espacio bidimensional se describen únicamente por dirección y magnitud, deben convertirse en componentes vectoriales para facilitar la suma y la resta. Tanto el componente x como el componente y tienen sus propias fórmulas.

Considere un vector con magnitud 5 y dirección (theta) de 126,87°:

El ángulo se mide a partir de la línea de los valores positivos del eje x en el gráfico. En problemas escritos y aplicaciones prácticas, se pueden proporcionar ángulos desde otras direcciones, por lo que será necesario convertirlos a la descripción de ángulo correcta cuando se trabaja con magnitud y dirección. Considere un ángulo de 36,87° a la izquierda de la dirección «hacia arriba» de algún punto, también conocido como eje y positivo:

Este es el mismo vector, pero con un theta medido desde otra posición en su redacción. La descripción dada de «36,87° a la izquierda del eje y positivo » se puede convertir a una medida estándar desde el eje x positivo sumando (en este caso) 90° al valor, ya que el eje y positivo es 90° mayor que el eje positivo. eje x. Sumar 90° da el resultado 126,87°.

Una vez que se conoce la magnitud y se ha descrito adecuadamente theta como un ángulo que gira hacia la izquierda desde el eje x positivo, se pueden usar algunas fórmulas básicas para convertir esta información en componentes vectoriales. Para el componente del eje x, esto se hace multiplicando la magnitud por el coseno de theta medido en grados (no en radianes). Para el componente del eje y, esto se hace multiplicando la magnitud por el seno de theta en grados:

{eq}V_{x} = 5\cdot \cos (126,87) {/eq}

{eq}V_{x} = 5\cdot -0,60 {/eq}

{eq}V_{x} = -3 {/eq}

{eq}V_{y} = 5\cdot \sin (126,87) {/eq}

{eq}V_{y} = 5\cdot 0,80 {/eq}

{eq}V_{y} = 4 {/eq}

Esto muestra que el componente x del vector es -3 y el componente y es 4. La mayoría de las calculadoras calculan el coseno y el seno usando radianes de forma predeterminada, así que asegúrese de convertir hacia y desde radianes, si corresponde, al realizar estas conversiones de vectores.

Fórmula de resta de vectores

Existen dos formas de restar vectores utilizando sus componentes: el método gráfico y el método algebraico.

El método gráfico requiere trazar vectores en un gráfico, pero es una de las mejores formas de desarrollar una fuerte intuición y comprensión del proceso de resta de vectores. El método algebraico es mucho más rápido y tan simple como sumar y restar números regulares (escalares).

Comparar los resultados de los dos métodos ayuda a comprender cómo funciona la resta de vectores.

Método gráfico

La suma de vectores gráficamente se puede realizar utilizando las leyes de la suma de vectores del triángulo y del paralelogramo.

Cuando se suman dos vectores gráficamente uniendo la cabeza y la cola de un vector con otro, el vector resultante forma el tercer lado de un triángulo, y los dos primeros vectores representan los otros dos lados. Esto se conoce como la Ley Triangular de la Suma de Vectores.

De manera similar, se pueden sumar gráficamente dos vectores uniéndolos por sus colas, creando dos lados de un paralelogramo cuando sus colas se encuentran en una de sus esquinas. La línea entre la esquina de las colas y su esquina opuesta es el vector resultante de sumarlas. Esta es la ley del paralelogramo de la suma de vectores.

Gráficamente, el negativo de (2,-5) se encuentra fácilmente colocando la cola del vector en el origen del gráfico de (0,0) y dibujándolo en la dirección inversa con la misma magnitud:

Usando este conocimiento, la resta de vectores se puede mostrar usando uno de estos métodos gráficos. Restar A = (2,-5) de otro vector B = (3,3) se puede hacer usando ambos métodos, dando el resultado (1,8):

Método algebraico

El método algebraico de suma de vectores es tan fácil como sumar varios valores escalares. Cada componente del vector representa la distancia que el vector «recorre» a lo largo de un eje, por lo que cada componente simplemente debe sumarse a su contraparte del eje correspondiente para encontrar el resultado de la suma del vector:

{eq}A = (2,-5) {/eq}

{eq}B = (3,3) {/eq}

{eq}A + B = (2,-5) + (3,3) {/eq}

{eq}A + B = (2+3,-5+3) {/eq}

{eq}A + B = (5,-2) {/eq}

Una vez más, la resta es simplemente sumar el negativo de uno de los vectores, por lo que restar (2,-5) de (3,3) dará el resultado (1,8):

{eq}B – A = (3,3) – (2,-5) {/eq}

{eq}B – A = (3,3) + (-2,5) {/eq}

{eq}B – A = (3-2,3+5) {/eq}

{eq}B – A = (1,8) {/eq}

Si bien el método gráfico es ideal para desarrollar una intuición sobre cómo funcionan la suma y resta de vectores o para visualizar los efectos físicos de las fuerzas, el método algebraico es, con diferencia, la forma más rápida de encontrar el resultado numérico para los cálculos.

Ejemplos de resta de vectores

• Resta un vector A = (3,6) de un vector B = (5,9):

{eq}B + (-A) = (5,9) + (-1)\cdot (3,6) {/eq}

{eq}B – A = (5,9) + (-3,-6) {/eq}

{eq}B – A = (5 – 3,9 – 6) {/eq}

{eq}B – A = (2,3) {/eq}

• Reste el vector M con una magnitud de 13 y una theta de 12° del vector N con una magnitud de 5 y una theta de 75. Recuerde realizar conversiones hacia y desde radianes al calcular el coseno y el seno, si es necesario, y encuentre primero los componentes del vector. para simplificar la suma y la resta, además de graficar el problema:

{eq}M_{x} = 13\cdot \cos (12) {/eq}

{eq}M_{x} = 13\cdot 0,98 {/eq}

{eq}M_{x} = 12,74 {/eq}

{eq}M_{y} = 13\cdot \sin (12) {/eq}

{eq}M_{y} = 13\cdot 0,21 {/eq}

{eq}M_{y} = 2,73 {/eq}

{eq}N_{x} = 5\cdot \cos (75) {/eq}

{eq}N_{x} = 5\cdot 0,26 {/eq}

{eq}N_{x} = 1,3 {/eq}

{eq}N_{y} = 5\cdot \sin (75) {/eq}

{eq}N_{y} = 5\cdot 0,97 {/eq}

{eq}N_{y} = 4,85 {/eq}

{eq}N + (-M) = (1,3,4,85) + (-1)\cdot (12,74,2,73) {/eq}

{eq}N – M = (1,3,4,85) + (-12,74,-2,73) {/eq}

{eq}N – M = (1,3 – 12,74,4,85 – 2,73) {/eq}

{eq}N – M = (-11,44,2,12) {/eq}

• Resta un vector A = (3,-2,8) de un vector B = (1,12,18) con el método algebraico:

{eq}B + (-A) = (1,12,18) + (-1)\cdot (3,-2,8) {/eq}

{eq}B + (-A) = (1,12,18) + (-3,2,-8) {/eq}

{eq}B + (-A) = (1 – 3,12 + 2, 18 – 8) {/eq}

{eq}B – A = (-2,14,10) {/eq}

Resumen de la lección

Un vector es una cantidad descrita por dos valores escalares denominados magnitud y dirección, y también puede representarse por sus componentes. Estos componentes corresponden a la distancia a lo largo de cada eje que «recorre» el vector en función de su magnitud y dirección. De la misma manera que la resta escalar se puede definir como sumar un escalar al valor negativo de otro escalar, la resta vectorial se puede definir como sumar un vector al valor negativo de otro vector. Existen dos formas de restar vectores utilizando sus componentes: el método gráfico y el método algebraico.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador