Definición de secuencia aritmética
La imagen de la Figura 1 representa una secuencia aritmética. La primera estructura tiene un bloque. Cada estructura sucesiva agrega dos bloques adicionales en una sola columna. Por lo tanto, la estructura sigue creciendo a un ritmo constante.
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Una secuencia aritmética es una lista de números en la que la diferencia entre términos consecutivos es constante. Una secuencia aritmética puede comenzar en cualquier número, pero la diferencia entre términos consecutivos debe ser siempre la misma.
Veamos un par de ejemplos de una secuencia aritmética:
7, 11, 15, 19,…
6, 9, 12, 15, 18
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El primer ejemplo comienza en el número siete y la diferencia constante entre términos consecutivos es cuatro. La elipsis (…) que sigue al número 19 nos dice que esta secuencia continúa sin detenerse. Por tanto, es una secuencia infinita . El segundo ejemplo es una secuencia finita porque tiene un último término.
La diferencia entre términos consecutivos puede ser un número negativo. La diferencia común en la siguiente secuencia es -2,5.
6, 3,5, 1, -1,5, -4,…
Ahora, veamos un no ejemplo:
3, 8, 15, 24, 35,…
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Esta no es una secuencia aritmética porque la diferencia entre términos consecutivos no es la misma. La diferencia entre 3 y 8 es 5. La diferencia entre 8 y 15 es 7. La diferencia entre 15 y 24 es 9, y así sucesivamente. Parece haber un patrón aquí, pero no en secuencia aritmética.
Nomenclatura
El n º término de una secuencia estará representado por una ( n ). Por ejemplo, el primer término de una secuencia es un (1) y el término 23 de una secuencia es un (23). Los números junto a la a generalmente se escriben como subíndices, pero en ocasiones se utilizarán paréntesis en esta lección.
Encontrar los términos
Comencemos con un problema simple. Tenemos la siguiente secuencia:
-3, 2, 7, 12,…
¿Cuál es el séptimo término de esta secuencia? Podemos ver que la diferencia común entre términos consecutivos es 5. El cuarto término es 12, por lo que a (4) = 12. Podemos extender la lista de la siguiente manera hasta llegar al séptimo término:
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-3, 2, 7, 12, 17, 22, 27,…
Esto nos dice que a (7) = 27.
Encontrar el n º Plazo
Tomemos la misma secuencia del ejemplo anterior, excepto que ahora tenemos que encontrar el término 33 o un (33). Podríamos usar el mismo método que antes, pero requerirá mucho trabajo. Necesitamos encontrar un método más rápido y eficiente. Sabemos que comenzamos en a (1), que es -3. Agregamos 5 para obtener cada término siguiente. Para pasar de un (1) a un (33), necesitaríamos sumar 32 términos consecutivos (33 – 1 = 32). Por lo tanto, estamos sumando 5 treinta y dos veces al primer término. En otras palabras, a (33) = -3 + (33-1) 5. El problema se completa a continuación:
a (33) = -3 + (33 – 1) 5 = -3 + 32 * (5) = -3 + 160 = 157.
La fórmula general o regla para una secuencia aritmética se muestran en la Figura 2. El n º plazo con primer término un (1) y la diferencia común d está dada por:
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Reglas
Ahora vamos a escribir las reglas para las secuencias que nos permitirán encontrar rápidamente el n º término para cualquier valor de n . Comencemos con la siguiente secuencia:
28, 22, 16, 10,…
Nuestro primer término es 28, por lo que a (1) = 28. La diferencia común es 6, por lo que d = 6. Sustituyamos estos valores en nuestra fórmula general:
a ( n ) = a (1) + ( n – 1) d (Esta es la fórmula general)
un ( n ) = 28 + ( n – 1) 6 (Sustituto de un (1) y d )
a ( n ) = 28 + 6 n – 6 (Distribuye el 6)
a ( n ) = 22 + 6 n (Simplificar)
Con una regla escrita para esta secuencia, podemos encontrar fácilmente cualquier término en la secuencia. Por ejemplo, busquemos un (55):
a (55) = 22 + 6 (55) = 22 + 330 = 352
La regla para una serie aritmética es en realidad una ecuación lineal. La regla que acabamos de encontrar podría escribirse como y = 6 x + 22. La pendiente es 6 y la intersección en y es 22. Si vuelve a la Figura 1 anterior, notará que la parte superior de las estructuras forma una línea recta. .
Hagamos el problema un poco más difícil. Tenemos una secuencia aritmética con a (11) = 44. La diferencia común de esta secuencia es 2.5. Necesitamos escribir una regla para esta secuencia:
a ( n ) = a (1) + ( n – 1) d (Esta es la fórmula general)
a (11) = a (1) + (11 – 1) d (Sustituye n )
44 = una (1) + (11 – 1) 2,5 (Sustituto de un (11) y d )
19 = a (1) (Resuelve para a (1))
Ahora que conocemos el valor del primer término, podemos escribir una regla para esta secuencia:
a ( n ) = a (1) + ( n – 1) d (Esta es la fórmula general)
un ( n ) = 19 + ( n – 1) 2,5 (Sustituto de un (1) y d )
a ( n ) = 19 + 2.5 n – 2.5 (Distribuya el 2.5)
a ( n ) = 16,5 + 2,5 n (Simplificar)
Podemos comprobar nuestro trabajo encontrando un (11):
a (11) = 16,5 + 2,5 (11) = 16,5 + 27,5 = 44
Resumen de la lección
Una secuencia aritmética es una lista de números. Puede comenzar en cualquier número, pero la diferencia de un término al siguiente es constante. La fórmula general de una secuencia aritmética es muy valiosa porque nos permite encontrar el valor de cualquier término en la secuencia con poco trabajo y con el uso de conceptos matemáticos simples.
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