La serie de Maclaurin para f ( x ) = ln (1 + x )
La expresión general de la serie de Maclaurin viene dada por la fórmula:
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La formulación de la serie de Maclaurin está completa cuando especificamos la región de convergencia. Detallemos cuidadosamente cinco pasos para determinar la serie de Maclaurin de f ( x ) = ln (1 + x ).
Paso 1: Encuentre derivadas para f ( x )
La derivada de ln ( x ) es 1 / x . Por tanto, la derivada de ln (1 + x ) es 1 / (1 + x ):
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La segunda derivada de f ( x ) es la derivada de f ‘( x ):
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Escribimos 1 / (1 + x ) como (1 + x ) -1 :
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La derivada de (1 + x ) -1 es (-1) (1 + x ) -2 donde el exponente, -1, va al frente y el exponente se ha reducido en 1 para convertirse en -2:
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Moviendo el (1 + x ) -2 al denominador, obtenemos:
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Diferenciar nuevamente dará 2 / (1 + x ) 3 :
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La siguiente derivada será -6 / (1 + x ) 4 . La siguiente derivada será 24 / (1 + x ) 5 . De cara al futuro, será sin duda útil tener una expresión general para el n º derivada. Repasemos esto.
- Tenga en cuenta que los signos alternan entre positivo y negativo. Expresamos esto como (-1) n +1 para n = 1, 2, 3, etc.
- El numerador de la derivada es 1, 1, 2, 6, 24,. . . para n = 1, 2, 3, 4, 5,. . . que concuerda con ( n – 1)! ¡Nota 0! = 1, 1! = 1 y 2! = 2 (1) = 2. El símbolo de exclamación se llama factorial .
- El denominador es (1 + x ) elevado a n .
Por tanto, la n- ésima derivada es la siguiente:
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Paso 2: evalúe estas derivadas y f ( x ) en x = 0
Para f ( x ) = ln (1 + x ), sea x = 0. Por lo tanto, f (0) = ln (1 + 0) = ln (1) = 0, lo que significa que el primer término de esta serie es 0. El primero 4 derivadas evaluadas en x = 0.
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Por cierto, la expresión para la n º derivado evaluado en x = 0.
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Usaremos esto más adelante cuando determinemos la región de convergencia.
Paso 3: Reúna la suma de productos
¿Recuerda la primera línea de la expresión general de la serie Maclaurin?
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Sustituyamos lo que sabemos en esta expresión.
Como ya se muestra, f (0) = 0.
El segundo término es:
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El tercer término es un poco más complicado:
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Usando la primera línea como modelo, podemos deducir los términos que siguen. ¡En el cuarto trimestre veremos un 3! en el denominador, que se evalúa como 3 (2) (1) = 6. Con el 2 en el numerador da 2/6, que se reduce a 1/3. Como puede ver, esto finalmente equivale a:
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¡El quinto trimestre tendrá 4! = 4 (3) (2) (1) = 24. El numerador es 6 dando 6/24 = 1/4. Como puede ver, finalmente se convierte en:
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Por tanto, la serie de Maclaurin para ln (1 + x ) es la siguiente:
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Paso 4: Encuentre el término general
Necesitaremos el término general cuando exploremos la región de convergencia. De la línea dos de la expresión general, vemos:
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Recordemos el n º derivado evaluado en x = 0, que es:
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Así, el término general acaba siendo:
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Lo cual es válido para n = 1, 2, 3, etc. Tenga en cuenta que n! es n ( n -1) ( n -2). . . (1) o simplemente n ! = n ( n -1) !. El ( n -1)! términos cancela dejando 1 / n .
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Paso 5: Encuentre la región de convergencia
La región de convergencia nos dice los valores de dominio de x para los cuales la serie de Maclaurin es válida. Usando la prueba de razón, una serie converge si se mantiene la ecuación que está viendo en la pantalla.
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La A n es el término general. Así,
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A n +1 es A n con n = n + 1:
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La relación A n +1 / A n :
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x n +1 dividido por x n es x elevado a (n + 1) – n que es x 1 = x . El (-1) al frente proviene de dividir (-1) n +2 entre (-1) n + 1 dando (-1) ( n +2) – ( n +1) = (-1) 1 = (- 1).
Tomando el valor absoluto, como lo hacemos aquí, obtenemos:
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n / ( n + 1) siempre es positivo, por lo que sale del valor absoluto.
Tomando el límite cuando n va al infinito:
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El valor absoluto de x no depende de n, por lo que se movió fuera del límite.
El límite de n / ( n + 1) cuando n llega al infinito es 1. Por lo tanto, la serie de Maclaurin que encontramos convergerá en ln (1 + x ) siempre que | x | <1. En términos de una región, | x | <1 significa -1 < x <1. Ahora comprobamos los puntos finales: 1 y -1.
En x = 1, la serie, 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + así sucesivamente, es una serie alterna que converge; x = 1 está incluido.
En x = -1, la serie, -1 – 1/2 -1/3 – 1/4 -. . . , es una serie armónica, que no converge; x = -1 no está incluido. La región de convergencia es (-1, 1] también escrita como -1 < x ≤ 1.
Así que echemos un vistazo a nuestro resultado final. La serie de Maclaurin para ln (1 + x) es lo que está viendo en su pantalla y la región de convergencia es (-1, 1].
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La expresión de suma
La tercera línea de la expresión general es una forma compacta de escribir la serie de Maclaurin, que quizás recuerde de antes. Si no es así, puede verlo distribuido.
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El término general está a la derecha y Σ significa que sumamos de n = 0 an = ∞.
Para ln (1 + x ) la suma comienza en n = 1 (el término n = 0 es 0):
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Esta declaración compacta de ln (1 + x ) cuando se expande da el mismo resultado de la serie de Maclaurin que obtuvimos anteriormente.
Resumen de la lección
Tomemos un momento para recapitular brevemente lo que hemos aprendido sobre cómo resolver la serie Maclaurin para ln (1+ x ). Los cinco pasos para determinar la serie de Maclaurin de f ( x ) = ln (1+ x ) son los siguientes.
- Encuentra derivadas para f ( x )
- Evalúe estas derivadas y f ( x ) en x = 0
- Ensamblar la suma de productos
- Encuentra el término general
- Encuentra la región de convergencia
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