Simplificar y resolver expresiones exponenciales

Exponentes

¿Qué pasaría si vivieras en un mundo donde nadie usaba sombreros? Así es para los números en un mundo sin exponentes. Claro, a veces se les moja la cabeza. Además, no tienen una forma discreta de ocultar el hecho de que no se peinaron.

Afortunadamente, algunos números tienen sombreros, que se llaman exponentes. Ahora, los exponentes no son solo sombreros normales. Están desgastados a un lado, como una boina, para indicar la clara superioridad del número sobre sus pares sin sombrero. Pero no se deje intimidar por los números con exponentes. Quiero decir, si supieras que todas las personas con sombrero solo cubren el cabello desordenado, no te sentirías intimidado, ¿verdad?

Un exponente es un número que indica cuántas veces se multiplica un número por sí mismo. 3 2 ? Eso es 3 * 3. 3 10 ? Eso es 3 * 3 * 3 * … bueno, multiplicado por siete 3 más.

Enteros positivos

Digamos que se le pide que resuelva una expresión exponencial. Comencemos con algunos que involucren números enteros positivos, por ejemplo: 7 ^ 3. ¿Cómo resolvemos esto? Recuerde, el exponente nos dice cuántas veces multiplicamos el número por sí mismo. Podrías pensar en ello como: cuanto mayor es el número, mayor es el sombrero. Y cuanto más grande es el sombrero, más egocéntrico es el número, o más tiempo pasa el número mirándose en el espejo.

Nuestra primera expresión es 7 3 . No es un sombrero muy elegante. Queremos multiplicar 7 por sí mismo tres veces. Eso es 7 * 7 * 7. Bueno, 7 * 7 = 49 y 49 * 7 = 343. Entonces, 7 3 = 343. ¡Lo acabamos de resolver!

Probemos con otra expresión con un entero positivo: 3 10 . Vimos este antes. ¡Es un sombrero enorme! Este 3 debe pensar que es bastante impresionante. Vamos a contarlo: 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3. ¿Eso fue 10? Sí. Si hacemos los cálculos, obtenemos 59,049. 3 10 = 59.049. ¡Eso es enorme!

Enteros negativos

No es necesario tener una actitud positiva para usar un sombrero. Algunas de las personas más lúgubres que he conocido llevaban sombrero. Lo mismo ocurre con los números enteros. Veamos un par de expresiones con números enteros negativos.

Comencemos con (-4) 2 . Ese es un sombrero bastante modesto. ¿Como lo resolvemos? ¿Es 4 * 4? No. Observe que el signo negativo está dentro del paréntesis con el 4. Está en una vitrina de emoción. Entonces tenemos que hacer -4 * -4. Eso es 16 positivo. Entonces, (-4) 2 es 16 positivo.

¿Qué pasa con (-1) 3 ? Una vez más, esta expresión está en una vitrina de emoción. Queremos hacer -1 * -1 * -1. Sabemos que va a ser 1, pero ¿es positivo o negativo? Veamos. Un negativo multiplicado por un negativo es un positivo. Y lo positivo por lo negativo es lo negativo. Entonces, (-1) 3 = -1.

Con números negativos, siempre verifique si el exponente es par o impar. Con exponentes impares, el número permanecerá negativo. Con exponentes pares, el número será positivo. Supongo que los sombreros extraños pueden hacer que te sientas negativo, mientras que incluso los sombreros te igualan.

Variables

Pasemos de estos números enteros negativos que llevan sombrero y probemos algunas variables. Puede encontrar un problema como este: Resuelva x 4 cuando x = 6. ¿Qué es esto? Esto es como ver un sombrero en un maniquí. x es nuestra variable, llevando el exponente en blanco mientras pensamos si nos veríamos bien usándolo. Oye, los maniquíes también se miran en los espejos. Bueno, lo harían si tuvieran ojos.

Afortunadamente, se nos dice que x = 6. Entonces, lo que tenemos que averiguar es 6 4 . Eso es 6 * 6 * 6 * 6. 6 * 6 = 36. 36 * 6 es 216 y 216 * 6 es 1.296. Entonces, x 4 = 1,296 cuando x = 6.

Fracciones

Eso no fue demasiado complicado, ¿verdad? Pero lo que si vimos esto: 5 8 /5 5 . Oh no. Hay exponentes en ambas partes de esta fracción. Es como personas en literas con sombreros. No creo que debas usar sombrero en la cama. Simplifiquemos y resolvamos para que no se rompan las reglas de la casa.

Podríamos calcular 5 8 y luego 5 5 . Seguro, eso funcionaría. Y obtendríamos la respuesta correcta. Pero simplificar primero nos ahorrará algo de esfuerzo. Pensemos en lo que tenemos aquí. El numerador es 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5. El denominador es 5 * 5 * 5 * 5 * 5. Eso es un montón de 5. ¿Pero sabes que? Podemos tachar los duplicados. 5/5 es solo 1.

Tachemos los cinco 5 en la parte inferior y los cinco 5 iguales en la parte superior. Eso nos deja con uno en el denominador y 5 * 5 * 5, o 5 3 , en el numerador. Bueno, al menos conseguimos que el de la litera de abajo se quitara el sombrero.

¿Qué es 5 * 5 * 5? Bueno, 5 * 5 es 25. Y 25 * 5 es 125. Por lo tanto, 5 8 /5 5 es 125. Eso fue mucho más sencillo que averiguar 5 8 y 5 5 , ¿verdad?

También funciona con variables. Digamos que tenemos esto:

Ugh. Es como los niños de Brady Bunch compartiendo una habitación, todos con sombreros. Simplifiquemos. Podemos pensar en esto como cuatro fracciones separadas, una para cada variable y otra para las constantes, 25 y 20, que son como los padres Brady. Al menos no llevan sombrero.

Comencemos con ellos, 25 y 20. Esos se simplifican a 5 y 4. Con las variables, podemos restar el exponente más pequeño del más grande. Con un 4 sobre un 3 , nos queda un más de 1. ¡Sin exponentes! Increíble. Luego está b 2 sobre b 2 . Bueno, esos simplemente se van, ¿no? El hijo del medio siempre parece quedarse fuera. Bien, ahora c 6 sobre c 4 . Simplificamos que a c 2 más 1. Si ponemos todo esto junto, tenemos esto: 5 ac 2 /4. ¡Eso es mucho, mucho más sencillo!

Resumen de la lección

Para resumir, practicamos la resolución de expresiones exponenciales. Un exponente nos dice cuántas veces se multiplica un número por sí mismo. Observamos números enteros positivos y negativos. Con este último, tuvimos cuidado de incluir el signo negativo cuando formaba parte de la expresión.

Luego analizamos un problema que involucraba una variable. Aquí, conectamos el valor dado para la variable y resolvimos. Finalmente, miramos un par de fracciones. Con estos, pudimos primero simplificar la expresión y luego resolver.

Los resultados del aprendizaje

Después de ver esta lección en video y revisar la transcripción que la acompaña, podría:

• Comprender cómo simplificar y resolver expresiones con exponentes.
• Compara números enteros positivos y negativos
• Simplifica expresiones que contienen fracciones

Rodrigo Ricardo Editor y fundador