Técnica de diferenciación implícita
Digamos que nuestro amigo Gary nos está haciendo saber que llegará tarde a nuestra reunión de cena de las 4:15 pm, pero todo lo que dice es que todavía hay mucha tarea que tiene que hacer. Cuando se le pide que sea más claro, Gary comparte explícitamente su horario: a las 4:00 pm estudia matemáticas, a las 4:10 se toma un descanso y a las 4:20 comienza la tarea. Al indicar explícitamente su horario, sabemos con certeza que Gary no tiene planes de estar en el restaurante a las 4:15.
En los problemas de diferenciación matemática, a menudo escuchamos estas mismas palabras: explícito e implícito. En esta lección explicamos la técnica de diferenciación implícita comparándola con la diferenciación explícita. Luego completamos varios ejemplos usando diferenciación implícita. Esto podría ayudar a Gary a llegar al restaurante.
Explícito frente a implícito
Dada la ecuación y 2 = x – 1, encontremos la recta tangente. Sabemos que tomar la derivada de y con respecto ax nos da la pendiente de la recta tangente. Si primero sacamos la raíz cuadrada de ambos lados de esta ecuación, tenemos:
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Esta es la forma explícita de la ecuación porque y está aislado en el lado izquierdo y x aparece solo en el lado derecho.
Al diferenciar y resolver para y ‘, obtenemos la siguiente ecuación:
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La primera línea dice que y ‘es lo mismo que d y / d x es lo mismo que D y . La notación prima, la notación d sobre d x y la notación D mayúscula son tres formas de decir lo mismo: tome la derivada con respecto a x . Será conveniente mezclar estas notaciones.
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La segunda línea es la derivada de una raíz cuadrada, y la tercera línea es la respuesta final donde tenemos cuidado de evitar valores para x indefinidos para y ‘( x = 0 conduce a dividir por cero).
La diferenciación de una ecuación de forma explícita se llama diferenciación explícita .
Obtengamos la respuesta y ‘sin resolver primero para y . Usando la notación D mayúscula para la derivada, tome la derivada de ambos lados de la ecuación:
D ( y 2 ) = D ( x -1) lo que da:
2 y y ‘= D (x) – D (1) = 1 – 0, habiendo usado la regla de la cadena para D ( y 2 ). La derivada de una diferencia es la diferencia de las derivadas. Por tanto, D ( x – 1) es lo mismo que D ( x ) – D (1). La derivada de x es 1 y la derivada de una constante (el 1) es cero.
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2 y y ‘= 1, o y ‘ = 1 / (2 y ). ¿Ves lo bien que aparece y ‘permitiéndonos resolver fácilmente para y ‘?
La regla de la cadena se expresa muy bien usando la notación dd x :
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¿Ves cómo la y ‘reemplazó a la d y d x ? ¡Equivalente y más compacto!
Sustituyendo y = raíz cuadrada ( x – 1) obtenemos:
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Los resultados son los mismos, pero el segundo enfoque es muy poderoso cuando es imposible o inconveniente resolver explícitamente para y . Este segundo enfoque se denomina diferenciación implícita , que se logra esencialmente mediante la regla de la cadena.
Y una regla de estudio eficaz es tomar descansos, incluida la comida. ¿Gary seguirá estudiando y se perderá la cena?
Ejemplo de diferenciación implícita
Vamos a complicar la ecuación anterior mezclando en más de x e Y. términos:
( x – y ) 2 = x + 8 y – 1. Un gráfico de esta curva se parece a la imagen de abajo con esta ecuación:
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Encuentra la recta tangente en el punto x = 5, y = 1,25:
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La diferenciación da la pendiente de la recta tangente, pero en lugar de intentar resolver para y para hacer una diferenciación explícita, diferenciaremos implícitamente. Primero, toma la derivada de ambos lados de la ecuación:
D ( x – y ) 2 = D ( x + 8 y – 1)
Use la regla de la cadena en el lado izquierdo, y en el lado derecho use la derivada de una suma es la regla de la suma de derivadas:
2 ( x – y ) D ( x – y ) = D ( x ) + D (8 y ) – D (1)
Continúe evaluando, y cuando tengamos una D ( y ), escriba esto en notación prima como y ‘:
2 ( x – y ) (1 – y ‘) = 1 + 8 y ‘ – 0
Agrupando los términos y ‘en el lado derecho:
2 ( x – y ) – 1 = y ‘(8 + 2 ( x – y ))
Resolviendo para y ‘:
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Para completar este ejemplo, la ecuación de la tangente es y = m x + b donde la pendiente m es y ‘. Sustituyendo x = 5 y y = 1,25 en el resultado de y ‘se obtiene 0,42. Resolviendo para b, tenemos b = y – m x = 1.25 – 0.42 (5) = -0.85. Por lo tanto, la ecuación para la tangente a la curva en (5, 1.25) es y = 0.42 x – 0.85. Al trazar esta línea, obtenemos el siguiente gráfico:
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Una buena línea recta y, a veces, una línea recta desde la sala de estudio hasta el restaurante es el mejor camino de Gary para conseguir algo de comida.
Algunos ejemplos más
Hagamos ejemplos con exponenciales y luego con funciones trigonométricas.
Ejemplo 1: Encuentre y ‘para e ^ ( x + y ) = e ^ (e x ) + e ^ (2 y ).
Toma la derivada de ambos lados de la ecuación:
D e ^ ( x + y ) = D e ^ (e x ) + D e ^ (2 y )
Diferenciar usando la regla de la cadena:
e ^ ( x + y ) D ( x + y ) = e ^ (3 x ) D (3 x ) + e ^ (2 y ) D (2 y )
Evalúe las derivadas:
e ^ ( x + y ) (1 + y ‘) = e ^ (3 x ) 3 + e ^ (2 y ) 2 y ‘
Recopile y factorice los términos y ‘:
y ‘(e ^ ( x + y ) – 2e ^ (2 y )) = 3e ^ (3 x ) – e ^ ( x + y )
Resuelve para y ‘:
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Ejemplo 2: Encuentre y ‘para cos x + sin y = sin (2 x – 3 y )
Diferenciar ambos lados de la ecuación:
D cos x + D sin y = D sin (2 x – 3 y )
Evalúe las derivadas:
-sin x + cos ( y ) y ‘= cos (2 x – 3 y ) D (2 x – 3 y ) = cos (2 x – 3 y ) (2-3 y )
Recopile y factorice los términos y ‘:
y ‘(cos y + 3cos (2 x – 3 y )) = 2cos (2 x – 3 y ) + sen x
Resuelve para y ‘:
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Tener todos estos ejemplos matemáticos de diferenciación implícita le permite a Gary sentirse seguro para tomar un descanso prolongado y cenar.
Resumen de la lección
Dediquemos unos minutos a repasar lo que hemos aprendido en esta lección sobre la técnica de diferenciación implícita. La forma explícita de una ecuación tiene la variable y aislada en el lado izquierdo, y x aparece solo en el lado derecho. La diferenciación de una ecuación de esta forma se denomina diferenciación explícita . Para aquellos casos en los que y no está aislado, podemos usar la diferenciación implícita , que es esencialmente diferenciar usando la regla de la cadena. La regla de la cadena se expresa muy bien usando la notación dd x :
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¡Ahora debería poder utilizar la técnica de diferenciación implícita con facilidad!
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