Teoría de conjuntos: definición y aplicación

Establecer definiciones de teoría

Emma y su hermana Michelle quieren abrir tiendas de pasteles. Emma quiere servir cinco tipos de pastel: chocolate, lima, fresa, cereza y melocotón. Michelle también quiere servir cinco tipos de pastel, pero no exactamente los mismos que Emma planea vender. Va a vender pasteles de fresa, melocotón, manzana, pera y limón.

Cada uno de estos grupos de pasteles se puede considerar un conjunto. En la teoría de conjuntos, un conjunto es una colección de objetos y cada elemento del conjunto se denomina elemento .

En este caso, hay dos conjuntos. Llamémoslos E y M (para Emma y Michelle). Cada conjunto contiene exactamente cinco elementos. Aunque la mayoría de los conjuntos contienen al menos un elemento, hay casos especiales en los que un conjunto NO contiene elementos. Un conjunto que contiene exactamente cero elementos se denomina conjunto vacío .

Además, podemos definir ciertos elementos dentro de un conjunto para que estén en un subconjunto , que es un conjunto más pequeño de elementos tomados de dentro de un conjunto. Por ejemplo, el subconjunto del conjunto E que solo contiene pasteles de frutas contendría cuatro elementos: lima, fresa, cereza y melocotón. El chocolate no estaría en el subconjunto aunque es un elemento del conjunto más grande.

Si combinamos estos dos conjuntos, esto se llama unión , y el símbolo de la unión de un conjunto se parece a la letra U. En este caso, la unión de los conjuntos E y M contiene ocho elementos: chocolate, lima, fresa, cereza, melocotón, manzana, pera y limón.

La intersección de los dos conjuntos contiene solo aquellos elementos que se encuentran en AMBOS conjuntos. Por lo tanto, la intersección de los conjuntos E y M contiene solo dos elementos: fresa y melocotón. El símbolo de una intersección se parece a una U invertida.

El complemento de un conjunto contiene todos los elementos que NO están en el conjunto. Por ejemplo, el complemento del conjunto M contendría todo tipo de pastel excepto los que ya están en el conjunto. Finalmente, los conjuntos desarticulados son conjuntos que no tienen ningún elemento en común. La intersección de dos conjuntos inconexos sería un conjunto vacío.

Conjuntos que contienen datos numéricos

Los elementos de un conjunto pueden ser numéricos o no numéricos, como los pasteles del ejemplo anterior. ¿Puedes pensar en algunos ejemplos de conjuntos que contengan datos numéricos?

Digamos que el conjunto A contiene todos los números impares menores o iguales que 25. Esto significa que el conjunto A contendría los elementos 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23 y 25. También podríamos definir otro conjunto, el conjunto B, que contenga todos los números primos menores o iguales que 25. El conjunto B contendría los elementos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 y 23.

¿Qué elementos estarían en un conjunto formado a partir de la intersección del conjunto A y el conjunto B? Recuerde que la intersección de dos conjuntos contiene elementos que son comunes a ambos conjuntos. En este caso, la intersección contendría los elementos 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 y 23. Los elementos 2, 9, 15 y 25 NO estarían en este nuevo conjunto porque no se encuentran en ambos configuran A Y configuran B.

¿Qué se encontraría en un subconjunto del conjunto B que solo contiene números pares? Este subconjunto solo contendría un número, 2. De hecho, de los infinitos números primos posibles, 2 es el ÚNICO número par que también es un número primo.

Aplicaciones prácticas de la teoría de conjuntos

La teoría de conjuntos puede parecer muy general y abstracta, pero en realidad tiene muchas aplicaciones en muchas otras ramas de las matemáticas. La teoría de conjuntos es necesaria para comprender conceptos como límites y continuidad de funciones, que son importantes en álgebra y cálculo. La teoría de conjuntos también es muy importante en una rama de las matemáticas llamada álgebra de Boole. El álgebra booleana se utiliza en la programación de computadoras y en el diseño de dispositivos electrónicos como calculadoras, computadoras y teléfonos celulares.

Resumen de la lección

Un conjunto es una colección de objetos o números, y cada elemento del conjunto se denomina elemento del conjunto. Un subconjunto contiene solo algunos de los elementos dentro de un conjunto más grande. La unión de dos conjuntos es otro conjunto que contiene todos los elementos de ambos conjuntos. La intersección de dos conjuntos es otro conjunto que contiene solo aquellos elementos que son comunes a ambos conjuntos. Los conjuntos desarticulados son conjuntos que no tienen ningún elemento en común. La intersección de dos conjuntos desarticulados es un conjunto vacío porque contiene cero elementos. Finalmente, el complemento de un conjunto es un conjunto que contiene todos los elementos posibles que NO se encuentran en el conjunto original.