Transformaciones: Cómo desplazar gráficos en un plano

Transformaciones

Las traducciones deslizan la función

Mucha gente opina que las matemáticas no tienen ningún sentido. Algunos de mis estudiantes incluso parecen pensar que hace mucho tiempo, los matemáticos nos reunimos en una cámara secreta en algún lugar y se nos ocurrieron todas estas reglas locas sin ninguna otra razón que volver loca a la gente. Si bien puedo asegurarles que este no es el caso, entiendo por qué la gente puede sentirse así. Enseñar cosas como 5 0 = 1 hace que sea especialmente difícil para mí defender mi posición de que las matemáticas no están ahí únicamente para que los profesores nos reímos de ti cuando te equivocas.

¡Pero tal vez esto ayude! Es un tema en el que elegimos una palabra que describe con precisión lo que significa en matemáticas. Transformaciones un poco, como, ¡transformar! No es necesario ser un erudito en inglés para saber que esta palabra implica que una cosa se transforma en otra. Algo así como un Camaro puede transformarse en un gran robot de combate malvado, una función matemática puede transformarse en … ¡una función matemática diferente! No es tan genial como el robot, lo sé, pero al menos es simple. Si se estuviera transformando en un robot, apuesto a que las matemáticas serían mucho más difíciles.

Tipos de transformaciones

De todos modos, echemos un vistazo a algunos de los diferentes tipos de transformaciones que podemos tener en matemáticas. Primero tenemos rotaciones . Estos simplemente toman una función, tal vez esta, ¡y la rotan! También podemos tener reflejos . Estas son transformaciones que actúan como un espejo y reflejan una función a un nuevo lugar, tal vez así,

dilatación

Gráfica de la función f (x – 5) + 3 del ejemplo # 1

Traducciones

Pero la cuarta y última transformación, llamada traducción , es del tipo en el que nos centraremos en esta lección. Las traducciones simplemente deslizan la función alrededor, tal vez tomando una función como esta

Primero, el cambio hacia arriba: parece que el nuevo gráfico es tres unidades más alto que el original. Veamos si podemos hacer que nuestra gráfica original se convierta en esta. Si podemos hacer eso, estaremos a mitad de camino y luego podremos concentrarnos en hacer que se deslice también. Bien, observe que este gráfico es exactamente el mismo, excepto que cada punto es tres más alto de lo que solía ser. Eso significa que todo lo que queremos hacer es hacer que cada respuesta sea tres más de lo que solía ser. En lugar de f (0), queremos f (0) + 3. En lugar de f (-2) queremos f (-2) + 3. Eso significa que, en lugar de f ( x ), queremos f ( x ) + 3.

¡Frio! Ahora que tenemos la función aquí, intentemos deslizarla hacia la derecha. Pero ahora ese punto debe estar cinco puntos a la derecha. Entonces, lo que solía obtener cuando conectaba 0, ahora necesito conseguirlo cuando conecto 5. Entonces, ¿cómo podemos conectar 5 y terminar con 0? Bueno, ¿qué hay de hacer la función, en lugar de f ( x ), f ( x – 5)? De esa manera, cuando conecto 5, en realidad obtengo f (0), que sabemos que me da el punto que quería. Eso significa que f ( x ) + 3 en el exterior lo desplaza tres hacia arriba, pero luego hacer f ( x – 5) en el interior en realidad lo desplazará cinco hacia la derecha. Eso significa que este gráfico final de aquí debe serf ( x – 5) + 3.

El -3 provoca un desplazamiento hacia abajo del gráfico en el ejemplo # 2

Resumamos lo que acabamos de aprender. Las traducciones se realizan sumando o restando valores de la función. Sumar fuera de f ( x ) desplaza el gráfico hacia arriba, lo que implica que restar fuera de f ( x ) lo desplazaría hacia abajo. Restar dentro de f ( x ) desplaza el gráfico hacia la derecha, lo que implica que sumar dentro de f ( x ) lo desplazaría hacia la izquierda. Esto es lo contrario de lo que podría pensar. La forma en que lo recuerdo es preguntándome ‘si dice f ( x + 2), ¿cómo lo haría cero?’ La respuesta es, ‘poniendo un -2’, desplazándolo así hacia la izquierda.

Lo que esto significa es que si tenemos una función f ( x – h ) + k , h nos dice cuántas unidades debemos deslizar la función hacia la izquierda o hacia la derecha, y k nos dice cuántas unidades debemos deslizar hacia arriba o hacia abajo. Veamos algunos ejemplos rápidos.

¿Qué tal este? Dado que esta gráfica es f ( x ), grafica f ( x + 1) – 3. Bien, bueno, las cosas dentro de f ( x ) desplazan la función hacia la izquierda y hacia la derecha y hacen lo contrario de lo que yo esperaba que lo hiciera. Eso significa que el +1 desplazará todo en el gráfico uno hacia la izquierda. El -3 en el exterior representa el cambio hacia arriba / hacia abajo y sigue el patrón que esperaría, lo que significa que bajará todo el gráfico tres puntos, lo que hace que nuestro nuevo gráfico se vea así.

Un último ejemplo: la función g aquí es una traducción de la función f . Escribe la ecuación para g en términos de f . Vaya, este tiene direcciones bastante locas. No nos preocupemos demasiado por eso y centrémonos en lo que hemos aprendido. Entonces, g se ve básicamente igual que f , solo que se ha desplazado dos hacia la derecha y cuatro hacia arriba. Eso significa que tenemos un -2 en el interior de la función y un +4 en el exterior. Por lo tanto, g ( x ) = f ( x – 2) + 4

La función se desplaza 2 hacia la derecha y 4 hacia arriba en el ejemplo final

Resumen de la lección

Revisemos. Las transformaciones de funciones cambian una función a otra ligeramente diferente. Las rotaciones hacen girar la función, los reflejos invierten la función a través de una línea (como un espejo), las dilataciones estiran o encogen la función y las traslaciones deslizan la función.

Para realizar una conversión de función, debe sumar o restar valores al interior o al exterior de f ( x ). Los valores del interior desplazarán el gráfico en la dirección x , hacia la izquierda o hacia la derecha, mientras que los valores del exterior cambiarán hacia la dirección y , hacia arriba o hacia abajo. Desplazar el gráfico hacia arriba o hacia abajo sigue el patrón que podría adivinar, con sumar desplazándolo hacia arriba y restando desplazándolo hacia abajo, pero desplazarlo hacia la izquierda o hacia la derecha es lo opuesto: agregarlo lo desplaza a la izquierda, mientras que restarlo lo desplaza a la derecha.

Términos clave

transformaciones: cambiar una función a una ligeramente diferente

rotaciones: girar la función

reflexiones: voltea la función a través de una línea

dilataciones: estirar o encoger la función

traducciones: deslice la función alrededor

Resultado de aprendizaje

Una vez que haya completado esta lección, comprenderá las diferentes formas en que se pueden transformar las funciones y cómo realizar estas transformaciones.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador