Trinomio cuadrado perfecto: definición, fórmula y ejemplos

Trinomios cuadrados perfectos

Antes de que podamos llegar a definir un trinomio cuadrado perfecto, necesitamos repasar algo de vocabulario.

Los cuadrados perfectos son números o expresiones que son el producto de un número o expresión multiplicado por sí mismo. 7 por 7 es 49, por lo que 49 es un cuadrado perfecto. x al cuadrado por x al cuadrado es igual a x elevado al cuarto, por lo que x elevado al cuarto es un cuadrado perfecto.

• Los binomios son expresiones algrebraicas que contienen solo dos términos. Ejemplo: x + 3
• Los trinomios son expresiones algebraicas que contienen tres términos. Ejemplo: 3 x 2 + 5 x – 6

Los trinomios cuadrados perfectos son expresiones algebraicas con tres términos que se crean al multiplicar un binomio a sí mismo. Ejemplo: (3 x + 2 y ) 2 = 9 x 2 + 12 xy + 4 y 2

Reconocer cuándo tienes estos trinomios cuadrados perfectos hará que factorizarlos sea mucho más simple. También son muy útiles para resolver y graficar ciertos tipos de ecuaciones.

El cuadrado de un binomio

Con trinomios cuadrados perfectos, necesitará poder moverse hacia adelante y hacia atrás. Debería poder tomar los binomios y encontrar el trinomio cuadrado perfecto y debería poder tomar los trinomios cuadrados perfectos y crear los binomios de los que provienen. Cada vez que tomas un binomio y lo multiplicas por sí mismo, terminas con un trinomio cuadrado perfecto. Por ejemplo, tome el binomio ( x + 2) y multiplíquelo por sí mismo ( x + 2).

( x + 2) ( x + 2) = x 2 + 4 x + 4

El resultado es un trinomio cuadrado perfecto.

Para encontrar el trinomio cuadrado perfecto del binomio, deberá seguir cuatro pasos:

Paso uno: cuadre la a

Paso dos: cuadra la b

Paso tres: multiplica 2 por a por b

Paso cuatro: suma a 2 , b 2 y 2 ab

( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2

Agreguemos algunos números ahora y encontremos el trinomio cuadrado perfecto para 2 x – 3 y . Para esto:

a = 2 x
b = 3 y

Paso uno: eleva al cuadrado a
a 2 = 4 x 2

Paso dos: eleva al cuadrado b
b 2 = 9 y 2

Paso tres: multiplica 2 por a por ‘b
2 (2 x ) (- 3 y ) = -12 xy

Paso cuatro: Suma a 2 , b 2 y 2 ab
4 x 2 – 12 xy + 9 y 2

Factorización

Un trinomio es un trinomio cuadrado perfecto si se puede factorizar en un binomio multiplicado por sí mismo. (Esta es la parte en la que se está moviendo hacia el otro lado). En un trinomio de cuadrado perfecto, dos de tus términos serán cuadrados perfectos. Si no tiene dos términos cuadrados perfectos, entonces este trinomio no es un trinomio cuadrado perfecto.

Ahora debes encontrar la raíz cuadrada de ambos términos cuadrados perfectos. multiplica las dos raíces cuadradas juntas y luego por dos. Debe obtener la versión positiva o negativa del otro término. Una vez más, si este no es el caso, no tiene un trinomio cuadrado perfecto.

Por ejemplo, en el trinomio x 2 – 12 x + 36, tanto x 2 como 36 son cuadrados perfectos.

La raíz cuadrada de x 2 es x , la raíz cuadrada de 36 es 6 y 2 por x (que es lo mismo que 1) por 6 es igual a 12 x / -12 x , que es igual al otro término.

x 2 – 12 x + 36 se puede factorizar en ( x – 6) ( x – 6), también escrito como ( x – 6) 2 .

productos especiales

Los trinomios cuadrados perfectos a menudo se introducen en los cursos de álgebra en una sección que se llamaría ‘Productos especiales’. Estos polinomios se agrupan de esta manera porque tienen un patrón único para factorizarlos. La diferencia de cuadrados, la suma de cubos y la diferencia de cubos son otros polinomios que entran en la categoría de productos especiales. El patrón único con trinomios cuadrados perfectos es que sus factores consisten en la repetición de un binomio.

Completando el cuadrado

Los trinomios cuadrados perfectos son un componente vital para completar el algoritmo cuadrado. Cada ecuación cuadrática se puede escribir como ax 2 + bx + c = 0, que se llama forma estándar.

Para resolver una ecuación cuadrática, es posible sumar el mismo número a ambos lados de la ecuación; creando así un trinomio cuadrado perfecto en un lado y un número en el otro lado del signo igual. El número que se agregará a ambos lados de la ecuación para crear un trinomio cuadrado perfecto es el valor de ( b / 2 a ) 2 . El trinomio se puede escribir como el cuadrado de un binomio.

El uso de la propiedad de la raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación produce un número lineal en un lado y un número positivo / negativo en el otro, lo que hace que sea mucho más fácil de resolver. Si comienza con la forma estándar de una ecuación cuadrática y completa el cuadrado en ella, el resultado sería la fórmula cuadrática .

Completar el cuadrado usando trinomios cuadrados perfectos también es útil cuando se manipulan los términos en la ecuación de un círculo para que el centro y el radio del círculo se puedan leer fácilmente en la ecuación.

Resumen de la lección

Un trinomio cuadrado perfecto es un tipo especial de polinomio que consta de tres términos. Las raíces cuadradas de dos de los términos multiplicados por dos serán iguales a la versión negativa o positiva del tercer término. Ellos serán un factor en ( un + b ) ( a + b ) o ( un – b ) ( un – b ), donde un y b son la raíz cuadrada de los términos cuadrados perfectos. Si el tercer término es negativo, tendrá ( a – b ) 2 , y si el tercer término es positivo, será ( a + b) 2 . Los trinomios cuadrados perfectos se utilizan para resolver ecuaciones, principalmente cuadráticas completando el cuadrado.

Características de los trinomios perfectos

Un trinomio cuadrado perfecto es el resultado de un binomio multiplicado por sí mismo

• Un trinomio cuadrado perfecto es un polinomio especial que consta de tres términos
• Un trinomio cuadrado perfecto se crea multiplicando un binomio a sí mismo
• Dos de los términos de un trinomio perfecto son cuadrados perfectos
• Se pueden usar para resolver cuadráticas completando el cuadrado

Los resultados del aprendizaje

Una vez que haya terminado, debería poder:

• Describe lo que constituye un trinomio cuadrado perfecto.
• Identificar un trinomio cuadrado perfecto
• Explica cómo usar trinomios cuadrados perfectos para resolver cuadráticas.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador