Trinomios: factorización, resolución y ejemplos

Definición

Un trinomio es una ecuación que consta de tres términos. Para esta lección, examinaremos trinomios escritos en la forma ax ^ 2 + bx + c , donde a , el coeficiente principal, no es igual a cero.

Para factorizar un medio trinomiales volver a escribir como un producto de dos binomios. Esto significa que vamos a reescribir el trinomio en la forma (x + m) (x + n) . Su tarea consiste en determinar el valor de m y n .

Para la factorización, los trinomios se dividen en dos grupos: aquellos con un coeficiente principal de 1 y aquellos con un coeficiente principal no igual a 1. Examinemos ambos.

Factorizar trinomios con un coeficiente principal de 1

Utilice los siguientes pasos para factorizar el trinomio x ^ 2 + 7x + 12 .

Paso 1: Determine los pares de factores de c que se sumarán para obtener b . Para x ^ 2 + 7x + 12 , a = 1, b = 7 y c = 12. Entonces, para completar este paso, tenemos que averiguar qué pares de factores de 12 se sumarán para dar igual a 7. Vamos a enumerarlos. Los pares de factores son 1 y 12, 2 y 6, y 3 y 4. El tercer par es lo que necesitamos, porque la suma de estos dos números es 7, que es nuestro b .

Paso 2: En paréntesis separados, agregue cada número ax . Aquí, simplemente vamos a tomar nuestro par de factores y sumar cada uno a x . Cuando lo hacemos, obtenemos (x + 3) y (x + 4). Por lo tanto, x ^ 2 + 7x +12 factorizado es (x + 3) (x + 4).

Para asegurarnos de que hemos factorizado correctamente, multipliquemos (x + 3) por (x + 4) para ver si obtenemos nuestro trinomio original. Cuando distribuimos, vemos que (x) (x) = x ^ 2, (x) (4) = 4x, (3) (x) = 3x, y (3) (4) = 12. Combinando nuestros similares términos, obtenemos x ^ 2 + 7x +12, que era nuestro trinomio original. Por tanto, podemos concluir que nuestra factorización se realizó correctamente.

Factorizar trinomios con un coeficiente principal no igual a 1

Para factorizar trinomios con un no igual a 1, el proceso será un poco diferente. Repasemos los pasos a continuación y usémoslos para factorizar 2x ^ 2 – 5x – 3 .

Paso 1: Multiplicar una y c juntos . Para este trinomio, a = 2, b = – 5 y c = -3. Cuando multiplicamos una y c , se obtiene (2) (- 3) = -6.

Paso 2: Identifica los pares de factores de este producto que se sumarán para obtener b . Para completar este paso, debemos enumerar los pares de factores de -6. Son -1 y 6, 1 y -6, 2 y -3 y -2 y 3. El par que se sumará para obtener b , que es – 5, es 1 y -6.

Paso 3: Vuelva a escribir la ecuación original, pero reemplace b con el par de factores correcto . Dado que -5 = 1 – 6, reemplazaremos -5x con 1x – 6x. Esto nos da 2x ^ 2 + x – 6x – 3 .

Paso 4: agrupa la ecuación en dos paréntesis, cada uno con dos términos. Luego, factoriza cada uno . Nuestros dos paréntesis serán (2x ^ 2 + x) y (-6x – 3). Vamos a factorizarlos. Del primer conjunto de paréntesis, podemos factorizar una x para obtener x * (2x + 1). En el segundo paréntesis, factoricemos -3. Esto nos deja con -3 * (2x + 1). Ahora podemos ver que 2x ^ 2 – 5x – 3 = (2x ^ 2 + x) + (- 6x – 3) = x * (2x + 1) + -3 * (2x + 1). Observe que las ecuaciones que quedan dentro de ambos paréntesis son las mismas. Si estamos factorizando correctamente, esto debería suceder siempre.

Paso 5: coloca los términos factorizados en un paréntesis separado . Los términos que factorizamos fuera del paréntesis fueron x y -3 . Al colocarlos en su propio paréntesis, terminamos con (x – 3) y (2x + 1) como los factores de 2x ^ 2 – 5x – 3 .

Veamos si hicimos esto correctamente y multiplicamos (x – 3) por (2x + 1). A partir de la distribución, vemos que (x) (2x) = 2x ^ 2, (x) (1) = x, (-3) (2x) = -6x y (-3) (1) = -3. Después de combinar términos semejantes, vemos que el producto es 2x ^ 2 – 5x – 3, que es con lo que comenzamos. Ahora podemos estar seguros de que hemos factorizado correctamente.

Resolver trinomios

Ahora que podemos factorizar trinomios, practiquemos su resolución. Para hacerlo, queremos que ax ^ 2 + bx + c sea igual a cero.

Observa la ecuación 3x ^ 2 – 5x – 5 = -3.

Antes de que podamos factorizar, debemos hacer que nuestro trinomio sea igual a cero. Para lograrlo, debemos sumar 3 a ambos lados. Esto nos deja con 3x ^ 2 – 5x – 2 = 0, y ahora estamos listos para factorizar.

Nuestro coeficiente principal no es igual a 1, por lo que vamos a asegurarnos de que seguimos los pasos adecuados desde arriba y comenzamos multiplicando una y c . De esto, obtenemos (3) (- 2) = -6. Ahora es el momento de enumerar los pares de factores. Son -1 y 6, 1 y -6, 2 y -3, & -2 y 3. El par que se sumará para obtener – 5 es 1 y -6, y nuestra ecuación se convierte en 3x ^ 2 + x – 6x – 2 = 0.

Después de agrupar, obtenemos (3x ^ 2 + x) (- 6x – 2) = 0. Luego, una vez que factorizamos cada conjunto de paréntesis, tenemos x (3x + 1) y -2 (3x + 1). En este punto, damos a esos términos factorizados un nuevo conjunto de paréntesis y concluimos que 3x ^ 2 – 5x – 2 factorizado es (x – 2) (3x + 1).

Por sustitución, (3x ^ 2 + x) (- 6x – 2) = 0 se convierte en (x – 2) (3x + 1) = 0.

Para tener un producto de cero, uno de los paréntesis en nuestra ecuación debe ser igual a cero. La verdad es que podría ser cualquiera de ellos. Por lo tanto, establezcamos cada paréntesis en cero y despejemos x. Para (x – 2) = 0, tenemos una solución de x = 2. Para (3x + 1) = 0, tenemos una solución de -1/3.

Resolvimos el trinomio 3x ^ 2 – 5x – 5 = -3 y determinamos que las dos soluciones son 2 y -1/3.

Resumen de la lección

Los pasos que se siguen para factorizar un trinomio están determinados por si el coeficiente principal es igual a 1 o no igual a 1. Para resolver un trinomio por factorización, el trinomio debe ser igual a cero.

Resultado de aprendizaje

Una vez que haya terminado, debería poder identificar, factorizar y resolver un trinomio.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador