Uso de ceros racionales y complejos para escribir ecuaciones polinomiales

Convertir ceros en funciones

Una parte típica de un curso de álgebra es aprender a factorizar y encontrar soluciones de funciones polinomiales, como ecuaciones cuadráticas. A menudo, también aprende a factorizar y encontrar soluciones de funciones polinomiales de grado 3 o superior. Sin embargo, en esta lección, completará este proceso a la inversa. Después de completar esta lección, podrá escribir una función polinomial a partir de un conjunto dado de ceros.

Pensemos en la factorización como separar una molécula de agua en sus partes básicas de hidrógeno y oxígeno. Si recuerda lo que aprendió en su clase de química en la escuela secundaria, el agua se separa en dos partes de hidrógeno y una parte de oxígeno.

El reverso de este proceso es la combinación de gas hidrógeno y gas oxígeno para formar agua. Esto es algo así como lo que haremos cuando escribamos una función polinomial a partir de un conjunto dado de ceros. Piense en las moléculas de hidrógeno y oxígeno como ceros y en la molécula de agua como función polinomial.

Definiciones

Debemos recordar que los ceros de una función polinomial son los números que resuelven la ecuación f (x) = 0. Estos números a veces también se denominan raíces o soluciones.

Un cero racional es simplemente una solución que es un número racional, que es un número que se puede escribir como una fracción de dos enteros. Por ejemplo, consideremos la función cuadrática f (x) = x ^ 2 – 3 x – 28. En forma factorizada, esta función es igual a f (x) = ( x + 4) ( x – 7). La propiedad del producto cero nos dice que las soluciones son x = -4 y x = 7. Estos son ceros racionales porque -4 y 7 son números racionales.

Un cero complejo es una solución que tiene una parte imaginaria. Por ejemplo, consideremos la función cuadrática f (x) = x ^ 2 + 4.

Si hacemos la función igual a cero y resolvemos para x , terminaremos con la raíz cuadrada de un número negativo, lo que significa que tendremos ceros complejos. La raíz cuadrada de -4 se puede simplificar a 2 i , por lo que nuestras soluciones son x = 2 i y x = -2 i . 2 i y -2 i son números imaginarios, por lo que son ceros complejos.

Los pasos del proceso

Usaremos los siguientes pasos para escribir una función polinomial a partir de sus ceros dados:

1. Convierte los ceros en factores.
2. Multiplica los factores.
3. Combina términos semejantes y escribe con potencias de x en orden descendente, que es la forma estándar de una función polinomial.

Ahora completaremos algunos ejemplos. Nuestros ejemplos indicarán que escribiremos polinomios de menor grado que tengan números reales para los coeficientes y un coeficiente principal de 1. Estas estipulaciones son bastante típicas de los problemas que resolveremos. Estas condiciones garantizan una única respuesta posible a nuestros problemas.

Ejemplo 1

Una función polinomial tiene coeficientes reales, un coeficiente principal de 1 y ceros -1, -2 y 5. Escribe una función polinomial de menor grado en forma estándar.

Primero, cambiemos los ceros a factores. Los ceros racionales de -1, -2 y 5 significan que nuestros factores son los siguientes:

( x + 1), ( x + 2) y ( x – 5)

A continuación, necesitamos multiplicar los factores:

f (x) = ( x + 1) ( x + 2) ( x – 5)
f (x) = ( x ^ 2 + 3 x + 2) ( x – 5)
f (x) = x ^ 3 + 3 x ^ 2 + 2 x – 5 x ^ 2-15 x – 10

Nuestro siguiente paso es combinar términos semejantes, lo que nos da:

f (x) = x ^ 3 – 2 x ^ 2 – 13 x – 10

Ahí lo tenemos, una función polinomial en forma estándar.

Ejemplo 2

Una función polinomial tiene coeficientes reales, un coeficiente principal de 1 y ceros 2, 2, i y – i . Escribe una función polinomial de menor grado en forma estándar.

Es posible que haya notado que esta función tiene un cero, un 2 y dos ceros imaginarios repetidos, i y – i .

Por si acaso, refresquemos su conocimiento sobre ceros imaginarios y pares conjugados. Los ceros imaginarios de funciones polinomiales con coeficientes reales siempre ocurren en pares conjugados . Si ( a + bi ) ( a y b son números reales y b no es igual a cero) es un cero de una función polinomial con coeficientes reales, entonces su conjugado ( a – bi ) también es un cero de la función polinomial.

Volvamos al problema. Primero, cambiemos los ceros a factores. Los ceros de 2, 2, i , y – i quiere decir que nuestros factores son los siguientes:

( x – 2), ( x – 2), ( x – i ) y ( x + i )

A continuación, necesitamos multiplicar los factores:

f (x) = ( x – 2) ( x – 2) ( x – i ) ( x + i )

Puede ser mejor multiplicar los dos primeros factores primero y luego los dos últimos factores por separado.

( x – 2) ( x – 2) = ( x ^ 2-4 x + 4)
( x – i ) ( x + i ) = ( x ^ 2 – i ^ 2)
i ^ 2 = -1, entonces ( x ^ 2 – i ^ 2) = ( x ^ 2 – (-1)) = ( x ^ 2 + 1)

Entonces podemos multiplicar estos dos productos juntos.

f (x) = ( x ^ 2 – 4 x + 4) ( x ^ 2 + 1)
f (x) = x ^ 4 – 4 x ^ 3 + 4 x ^ 2 + x ^ 2 – 4 x + 4

Finalmente, combinamos términos semejantes, lo que nos da:

f (x) = x ^ 4 – 4 x ^ 3 + 5 x ^ 2 – 4 x + 4

Ejemplo 3

Una función polinomial tiene coeficientes reales, un coeficiente principal de 1 y ceros 3 y (2 – i ). Escribe una función polinomial de menor grado en forma estándar. Recuerde que los ceros complejos ocurren en pares conjugados; por lo tanto, (2 + i ) también es cero.

Primero, cambiemos los ceros a factores. Los ceros de 3, (2 – i ) y (2 + i ) significan que nuestros factores son los siguientes:

( x – 3), ( x – (2 – i )) y ( x – (2 + i ))

Luego, necesitamos multiplicar los factores. Será más fácil multiplicar primero los factores complejos.

f (x) = ( x – 3) ( x – (2 – i )) ( x – (2 + i ))
f (x) = ( x – 3) ( x ^ 2 – 4 x + 5)
f ( x) = x ^ 3-4 x ^ 2 + 5 x – 3 x ^ 2 + 12 x – 15

Finalmente, combinamos términos semejantes:

f (x) = x ^ 3 – 7 x ^ 2 + 17 x – 15

Resumen de la lección

En esta lección, se le dio el proceso de convertir un conjunto de ceros dados en una función polinomial. Los pasos fueron los siguientes:

1. Convierte los ceros en factores.
2. Multiplica los factores.
3. Combina términos semejantes y escribe con potencias de x en orden descendente, que es la forma estándar de una función polinomial.

Esta lección consideró polinomios con ceros racionales y / o complejos. Recuerde que los ceros complejos ocurren en pares conjugados. Un problema puede proporcionar solo uno de los ceros complejos, dejando que el estudiante agregue su conjugado.

Los resultados del aprendizaje

Una vez que haya revisado esta lección en video, debería poder:

• Enumere los pasos para convertir un conjunto de ceros en una función polinomial
• Convierta a una función polinomial dado un conjunto de ceros racionales y / o complejos

Rodrigo Ricardo Editor y fundador