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Uso del seno para hallar el área de un triángulo

Publicado el 22 septiembre, 2020

Área de un triángulo

Muy rápido, ¿cómo se encuentra el área de un triángulo? Si ha estado estudiando geometría durante mucho tiempo, sabe que es A = 1 / 2b * h. Para muchas personas, esta ecuación les viene a la mente tan rápido que realmente no tienen que pensar en ella. De hecho, a menudo es algo que tiene mucho sentido: dibuja una línea diagonal a lo largo de un rectángulo y obtienes dos triángulos del mismo tamaño, así que simplemente encuentras el área del rectángulo y luego lo divides por dos. Fácil, ¿verdad?

Bueno, no siempre. Es probable que los triángulos que ha calculado con la mitad de la base multiplicada por la altura casi siempre incluyan un ángulo recto o la altura marcada. En esos casos, es bastante sencillo calcular el área. Pero, ¿qué pasa con esos molestos triángulos sin esa ayuda? ¿Estamos consignados a no conocer nunca su área? ¡Por supuesto no! Sin embargo, se necesitará un poco de trigonometría. Es decir, tendremos que usar una fórmula diferente. En estos casos, el área de un triángulo es = ½ * a * b * sinC.

Las letras minúsculas son las longitudes de los lados y la letra mayúscula es la medida del ángulo indicado. Más específicamente, C es el ángulo entre los lados ay b. Si bien es posible que no se vea tan bonito como la mitad de la base por la altura, en esta lección veremos que es mucho más útil.

Usando seno para encontrar el área

Antes de preocuparnos por las matemáticas de esa fórmula, retrocedamos y miremos. Realmente, piénselo como dos partes. La mitad por un lado debería tener sentido, ya que se extrae directamente de nuestra fórmula habitual. Pero, ¿qué pasa con ese segundo lado multiplicado por el seno del tercer ángulo? Lo que esencialmente está haciendo allí es crear un triángulo rectángulo imaginario en el que conocemos la hipotenusa y el ángulo y estamos tratando de encontrar el lado opuesto. Como tal, para resolver el lado opuesto, simplemente multiplicamos ambos lados por la hipotenusa, lo que nos da el lado opuesto. Después de todo, esta relación del lado opuesto sobre la hipotenusa es todo lo que un senoes – cambia con cada ángulo porque cambia la relación entre los lados. El lado opuesto de este triángulo rectángulo imaginario es la altura de nuestro triángulo real. Como resultado, todavía estamos calculando la mitad de la base por la altura, pero lo hacemos de una manera ligeramente diferente.

Oh, una nota rápida sobre calculadoras. Puede usar una calculadora científica o una calculadora gráfica para resolver estos problemas. Sin embargo, asegúrese de estar en el modo de grados, que a menudo indica DEG. De lo contrario, obtendrá una respuesta realmente desordenada.

Ejemplo uno

Obviamente, esto es un poco diferente, pero una de las cosas hermosas de las matemáticas es que podemos aplicar fórmulas y hechos matemáticos a problemas del mundo real. Entonces, digamos que tuvo que calcular el área de un ala en un avión. El proveedor de pintura necesita saber cuánta pintura traer para completar el trabajo, y usted sabe que puede resolver el resto una vez que le dé el área de una sola ala. El ala está inclinada hacia atrás, con longitudes de los siguientes lados: a es de 7 metros, b es de 16 metros y el ángulo C es de 130 grados. Entonces, ¿cuál es el área de la parte superior del ala? Introduzcamos los números en nuestra fórmula. El área es igual a la mitad por a por b por el seno del ángulo C. Por lo tanto, tienes la mitad por 7 por 16 por el seno de 130 grados. La mitad por 7 por 16 es 56, y el seno de 130 grados es .7660.

Ejemplo dos

Eso fue bastante sencillo, así que intentemos algo un poco más complicado. Digamos que está adquiriendo piezas para un panel solar de forma extraña. Sin embargo, los ingenieros han perdido todas las medidas. Uno viene a usted y le dice que tienen la longitud de dos lados, así como la medida del ángulo entre esos lados. Las longitudes de los lados son 14 metros y 17 metros, mientras que el ángulo es de 61 grados.

Una vez más, simplemente ingrese su información en la fórmula la mitad por a por b por el seno C. Eso significa la mitad por 14 por 17 por el seno de 61 grados. Haces los números y obtienes 119 veces el seno de 61 grados, que es 0,8746. La respuesta resultante es 104.0797 metros cuadrados.

Resumen de la lección

En esta lección, aprendimos cómo usar el seno para calcular el área de un triángulo sin una altura claramente definida. Aprendimos que estábamos sustituyendo en un triángulo rectángulo imaginario para permitirnos usar el seno para encontrar la altura del triángulo existente. Como tal, la fórmula es: ½ * a * b * sinC, donde ayb son los lados adyacentes al ángulo C.

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