Volumen de un tronco de pirámides y conos

Publicado el 23 noviembre, 2020

¿Qué son los Frustums?

A la Gran Pirámide de Giza le falta su cima. ¿Cómo calcularíamos el volumen de esta pirámide?

Cuando la parte superior de una pirámide o cono se ha cortado a lo largo de un plano paralelo a su base, la parte restante se llama tronco . La parte superior que se ha eliminado es en sí misma una pirámide o un cono.

El volumen de un tronco es fácil de encontrar cuando conocemos las alturas de la pirámide original y la pirámide más pequeña que se ha eliminado, pero ¿qué pasa si no conocemos esas alturas? Tendremos la respuesta a eso en un momento, pero para entender las ecuaciones para calcular los volúmenes de troncos de pirámides y conos, primero debemos comenzar con una discusión de triángulos similares.

Triángulos similares

Cuando los triángulos son versiones escaladas entre sí, son triángulos similares .

triángulos similares

Cuando dos triángulos son similares, la razón de los lados correspondientes es la misma. Las razones r 2 : r 1 y y – h: y son iguales,

ratio_of_sides_in_similar_triangles

Considere r 2 como el radio de un círculo cuya área A 2 es π r 2 2 . Asimismo, un círculo cuyo radio es r 1 tiene un área A 1 = π r 1 2 .

La proporción de las áreas:

 ratio_of_two_areas

Resolveremos para y porque nos mostrará cómo la altura del tronco se relaciona con la altura del cono o pirámide original en nuestras ecuaciones posteriores para el volumen:

 raíz_cuadrada_de_ambos_ lados

Ahora cambiamos los lados y multiplicamos por y :

 multiplicar_ambos_ lados_por_y

Entonces la transferencia de la h y Y términos:

aislar_los_y

Luego factorizamos, lo que da:

factor_the_y

Luego dividimos:

divide_ambos_ lados_por_el_y_factor

Luego multiplicamos el numerador y el denominador por la raíz cuadrada de A 1 :

reemplazo de triángulo similar

Genial, ahora podemos ver que y está aislado.

Volumen del tronco en un cono

¿Y los conos?

Tomemos tres formas:

  • Un cono de altura y
  • Un tronco de altura h
  • Un cono más pequeño de altura yh

Toma el cono de altura y y corta un trozo. El resultado es un tronco de altura h . La pieza cortada también es un cono, pero su altura es yh . ¿Tener sentido? Al colocar la pieza rebanada nuevamente en el tronco, se obtiene el cono original, por lo que la altura total sería yh + h = y , la altura del cono original.

El volumen del tronco es el volumen del cono original menos el volumen de la porción cortada. Aquí está la ecuación de volumen frustum que obtendremos:

 volume_of_a_frustum

Observe que esta ecuación nos permite encontrar el volumen de un tronco sin conocer la altura original y del cono o la pirámide. Entonces, vayamos al fondo de esta ecuación.

Generalmente, los volúmenes de pirámides y conos son fáciles de calcular. Multiplica 1/3 por el área de la base por la altura. La altura es una línea perpendicular a la base que llega al pico.

El cono grande tiene un área A 1 y una altura y . Por tanto, el volumen V 1 del cono grande:

El cono pequeño tiene un área A 2 y una altura yh . El volumen V 2 del cono pequeño es así:

El volumen tronzado V es el volumen del cono grande menos el volumen del cono pequeño. Escriba V = V 1V 2 y sustituya V 1 y V 2 :

Expandiendo el término yh y recolectando términos con a y :

A 1 es lo mismo que la raíz cuadrada de A 1 por la raíz cuadrada de A 1 . Pensando así, A 1A 2 es la diferencia de cuadrados. Al igual que c 2d 2 es una diferencia de cuadrados, que se puede factorizar como ( cd ) ( c + d ), factoriza la diferencia de A 1 y A 2 :

nulo

Estamos cerca, pero aún necesitamos deshacernos de esa y para poder encontrar el volumen del tronco sin conocer la altura original. ¿Recuerda los triángulos similares antes en esta lección? La yhy la y de los triángulos tienen la misma altura que las alturas de los conos grandes y pequeños. En otras palabras, todavía podemos expresar la altura original y como:

reemplazo de triángulo similar

Sustituimos esto por y y cancelamos el término que aparece tanto en el numerador como en el denominador:

La expansión da:

Factorizando 1/3 y h :

 volume_of_a_frustum

¡Hemos derivado la ecuación para el volumen V de un frustum!

El volumen de Frustum de Giza

Curiosamente, esta ecuación funciona para el volumen de troncos de pirámides. Necesitamos la altura hy el área de las bases, A 1 y A 2 .

 frustum_of_a_pyramid

Para la pirámide de Giza, la base es un cuadrado de 756 pies de lado.

Por lo tanto, A 1 = 756 2 = 5.72×10 5 pies cuadrados.

La piedra angular que falta a una altura de 462 pies es un cuadrado de 30 pies.

Por lo tanto, el área A 2 = 30 2 = 900 pies cuadrados.

El volumen del tronco de la pirámide de Giza es, si recuerdas:

 volume_of_a_frustum

reemplazo de cálculos de giza

¡Esto nos da un volumen aproximadamente igual a 92 millones de pies cúbicos!

Ampliación de la ecuación para el cono

Para un cono, A 1 = π r 1 2 y A 2 = π r 2 2 . La ecuación para el volumen troncocónico de un cono se convierte en:

ecuación_extendida_para_volumen_de_frustum_of_cone

Así es cómo:

Comience con la ecuación del volumen troncocónico:

the_volume_V_in_terms_of_the_areas_and_h

Sustituir las áreas, así obtenemos:

sustituyendo_por_las_áreas

A partir de ahí, simplificamos bajo la raíz cuadrada. Entonces ahora debajo de la raíz cuadrada está:

simplificando_bajo_la_raíz_cuadrada

Y luego saca la raíz cuadrada:

tomando_la_raíz_cuadrada

Y luego, finalmente factorizar π, agrupar los factores al frente y listo:

ecuación_extendida_para_volumen_de_frustum_of_cone

Resumen de la lección

Repasemos brevemente lo que hemos aprendido …

Los volúmenes de pirámides y conos se calculan multiplicando 1/3 por el área de la base por la altura. La altura se mide desde la base hasta el pico a lo largo de una línea perpendicular a la base. Si se quita una parte superior de la pirámide o el cono, tenemos un tronco . El volumen V de un frustum es el volumen total menos el volumen de la porción extraída. Las ecuaciones para el volumen troncocónico se derivan de triángulos similares donde las proporciones de los lados correspondientes en dos triángulos son las mismas. La ecuación para el volumen de un tronco de pirámides o conos viene dada por:

 volume_of_a_frustum

Debido a que las áreas de la base de un cono se pueden expresar en términos del radio, la ecuación para el volumen V del tronco de un cono se puede escribir como:

ecuación_extendida_para_volumen_de_frustum_of_cone

¡Puntúa este artículo!

Articulos relacionados