¿Qué es el principio de Cavalieri?
Quiero que pienses en dos formas aleatorias. Pueden ser estrellas, círculos, rectángulos, triángulos o cualquier otra forma bidimensional. El único inconveniente es que estas dos formas tienen la misma área. Ahora, estire estas formas en formas tridimensionales con exactamente la misma altura. De repente, tienes dos prismas o cilindros. Lo crea o no, estas dos formas tienen exactamente el mismo volumen. Esta idea de que dos formas tienen el mismo volumen si sus alturas son iguales y sus áreas de sección transversal son las mismas se llama Principio de Cavalieri y tiene algunas implicaciones bastante sorprendentes para el estudio de las matemáticas.
Pero espera, ¿cómo puede ser esto? Piense en ello de esta manera. Cuando calcula el volumen de un prisma o un cilindro, básicamente está multiplicando el área de la base por la altura. Claro, para un prisma rectangular puede ser largo por ancho por alto, mientras que para un cilindro puede ser pi por radio al cuadrado por alto, pero en cualquier caso, siempre regresa a esa idea básica de área por alto. El principio de Cavalieri dice exactamente eso. En esta lección, veremos cómo funciona esto, así como también cómo se aplica a otras formas como conos y pirámides.
Aplicar el principio
Echemos un vistazo a esto en acción para ver cómo funciona. Digamos que está haciendo una pila de panqueques para todos, pero cada pila debe tener exactamente el mismo volumen. Desafortunadamente, tiene invitados particulares y cada uno quiere que sus panqueques tengan diferentes formas. Siempre que las formas tengan la misma área, solo debes asegurarte de que las pilas tengan la misma altura para obtener el mismo volumen. Afortunadamente, debido a que se usó un cucharón del mismo tamaño para repartir cada panqueque, todos tienen la misma área.
Según el principio de Cavalieri, una pila de tres panqueques circulares tendrá tanto volumen como una pila de tres panqueques triangulares. ¿Por qué? Recuerde, la altura de cada panqueque es constante; después de todo, un panqueque solo puede ser tan grueso. Además, debido a que el área de cada tipo de panqueque es la misma, puede apilarlos en cantidades iguales. Por lo tanto, una pila de 3 tortitas triangulares tiene el mismo volumen que una pila de 3 tortitas circulares.
Pero espera, ¿qué pasa si alguien decide que quiere crepes súper finos? Siempre que el área de cada crepe sea el mismo que el área de cada panqueque, ¡no importa! Solo asegúrese de hacer crepes de la misma altura que los panqueques y todos habrán recibido el mismo volumen.
Área Superficial y Volumen de un Tubo: Ecuación y Cálculo
De hecho, no importa qué forma tomen los panqueques. ¿Te apetece una pila de panqueques con forma de Texas? Ve a por ello. ¿O tal vez quieres esos que se parecen a un determinado ratón de dibujos animados? Usted puede hacer eso también. Siempre que el área de cada forma sea la misma y las pilas tengan la misma altura, el principio se mantiene.
Llevando más lejos
Ahora, imagínese si los panqueques no estuvieran en una columna perfectamente recta. Digamos que están inclinados, algo así como la Torre Inclinada de Pisa, pero aún apilados. Los volúmenes no cambian, ¿verdad?
¡Por supuesto no!
La razón es simple: la base y la altura siguen siendo los mismos valores. Ahora, probablemente sea fácil de conseguir con un prisma regular, como un cilindro de panqueques. Sin embargo, lo mismo también se aplica incluso en diferentes formas. Digamos que estabas comparando un cono y una pirámide. El área de la base de cada uno es la misma y la altura de cada uno es la misma. Según el principio de Cavalieri, ¡los volúmenes de cada uno son iguales!
Es más, si tomaras una espada samurái y cortaras un avión de cada uno a exactamente la misma altura, los dos aviones tendrían exactamente la misma área. Tenga en cuenta que esto solo funciona si las alturas son las mismas y las áreas de las bases son las mismas. Después de todo, el área de cada plano cambia a medida que sube y baja por la pirámide o el cono. Sin embargo, de acuerdo con el principio de Cavalieri, siempre que corte desde la misma altura, tendrá la misma área en cada rebanada.
Volumen: descripción científica y ejemplos
¿Quieres que las matemáticas respalden esto? La fórmula para encontrar el volumen de un cono es pi multiplicado por el radio al cuadrado por la altura dividido por tres. Recuerda que pi multiplicado por el radio al cuadrado nos da como resultado el área de un círculo o la base de un cono. Mientras tanto, la fórmula para el volumen de una pirámide es largo por ancho por alto, todo dividido por tres. Nuevamente, el largo por el ancho es la fórmula para el área de la base. En otras palabras, las pirámides y los conos siguen la misma fórmula de base por altura dividida por tres para el volumen. Si los tamaños de base son los mismos de cada uno, ¡puede sustituirlos y obtener el mismo resultado!
Por qué esto es importante
Pero espera, ¿no es todo esto una especie de afirmación de lo obvio? Bueno, en cierto modo, sí. Sin embargo, el principio de Cavalieri es un trampolín importante para otras partes de las matemáticas. Aquí asumimos que cada una de las capas de nuestra forma tenía exactamente las mismas medidas. Una vez que avance en su estudio de las matemáticas, verá que esto cambia. De hecho, todo el campo del cálculo puede describirse con bastante precisión como averiguar cómo medir el volumen y el área de superficie de las capas cambiantes dentro de una forma. Sin la información establecida en el Principio de Cavalieri, no podríamos estar seguros de que la información que obtuvimos del cálculo sea realmente correcta.
Resumen de la lección
En esta lección aprendimos cómo el principio de Cavalieri influye en cada fórmula de volumen en términos de área y altura. En resumen, establece que dos formas tienen el mismo volumen si sus alturas son iguales y sus áreas de sección transversal son iguales. Más específicamente, los conos y pirámides con la misma área de base y altura tienen el mismo volumen, mientras que los cilindros y prismas rectangulares con la misma altura y área de base también tienen el mismo volumen. También aprendimos que, si bien esto puede parecernos bastante obvio a simple vista, en realidad marca una gran diferencia en el futuro con el cálculo y otras matemáticas avanzadas.
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