Lista de las identidades básicas de activación

Lista de las identidades básicas de disparo

En esta lección, aprenderemos y memorizaremos las tres identidades trigonométricas básicas . A veces se les conoce como las identidades pitagóricas . A veces se nos pueden dar ecuaciones y expresiones que parecen un lío revuelto. Normalmente es mejor si podemos organizar todo. Las identidades pitagóricas nos ayudan a agrupar las cosas de formas específicas que las simplifican. Simplificar y organizar ecuaciones puede resultar muy útil.

Piense y recordará que el teorema de Pitágoras establece que para los triángulos rectángulos, existe una relación especial entre las longitudes de los catetos y la hipotenusa. Esto está escrito en una fórmula como a 2 + b 2 = c 2 . De hecho, podemos usar esa fórmula para describir las identidades trigonométricas.

Pecado y cos

Si echamos un vistazo al círculo unitario y elegimos un punto, podríamos dibujar un triángulo rectángulo a partir de él. Comencemos echando un vistazo a un triángulo rectángulo básico y veamos si podemos relacionarlo con una identidad trigonométrica. La hipotenusa es 1, y sabemos que si cuadramos y sumamos los dos catetos, se sumarán a 1. Como estamos en el círculo unitario, podemos darle un nombre al ángulo que formamos. Ese ángulo podría variar según el triángulo que dibujamos, así que lo llamaremos theta.

Si echamos un vistazo a este triángulo, pudimos ver que x 2 + y 2 = 1 2 o 1. Más importante, porque estamos en el círculo unitario, podemos cambiar el nombre del X e Y. Los valores a sus valores trigonométricas. Para obtener el valor x de un ángulo, tomamos cos (θ) , y para obtener el valor y de un ángulo, tomamos sin (θ) . Esto nos permite simplificar el teorema de Pitágoras para usar solo un ángulo. Como reemplazamos las variables con sus valores trigonométricos, nuestra fórmula se simplifica en sin 2 (θ) + cos 2 (θ) = 1 .

Ahora, si miras de cerca, verás que todavía es muy similar al teorema de Pitágoras. Y debido a que esto es una identidad, significa que no importa a qué sea igual ese ángulo, si tomamos su seno y coseno, los elevamos al cuadrado y los sumamos, siempre será igual a 1.

Cuna y Csc

Desafortunadamente, existen otros valores trigonométricos que no podemos olvidar. La buena noticia es que podemos tomar esta primera identidad, darle un pequeño giro y nos mostrará cómo llegar a las otras identidades pitagóricas.

Comenzamos con sin 2 (θ) + cos 2 (θ) = 1 .

Dividamos cada parte de esta fórmula por el primer término para ver qué sucede: sin 2 (θ) / sin 2 (θ) = 1 . Pasemos al segundo trimestre. Mantenemos el signo más. Cos 2 (θ) / sen 2 (θ) nos da cot 2 (θ) . Mantenemos el signo igual y pasamos al último término: 1 / sen 2 (θ) nos da csc 2 (θ) .

Así, tenemos una identidad con dos de las otras funciones trigonométricas: 1 + cot 2 (θ) = csc 2 (θ) .

Por último, pero no menos importante, tenemos dos funciones trigonométricas más que debemos cubrir.

Tan y Sec

Volvamos a la ecuación original, sin 2 (θ) + cos 2 (θ) = 1 , y veamos si podemos encontrar la otra identidad.

La última vez dividimos todo por el primer trimestre. Esta vez queremos dividir todo por el segundo término, que es cos 2 . Sin 2 (θ) / cos 2 (θ) nos da tan 2 (θ) . Mantenemos el signo más. Cos 2 (θ) / cos 2 (θ) = 1 . Mantenemos el signo igual. Y pasaremos al último término: 1 / cos 2 (θ) = sec 2 (θ) .

Esa es la última de nuestras identidades pitagóricas: tan 2 (θ) + 1 = sec 2 (θ) .

Ahora que sabemos de dónde provienen estas identidades y cómo recordarlas, veamos cómo podemos usar esto para simplificar ecuaciones.

Identidades en acción

Echemos un vistazo a la cantidad (sin (θ) + cos (θ)) 2 = 3x + 2sin (θ) cos (θ) .

Empecemos por el lado izquierdo. Verás que tenemos un binomio al cuadrado. Cuando tienes un binomio al cuadrado, puedes simplificarlo elevando el primer término al cuadrado, luego sumando 2 veces el primer término multiplicado por el segundo término y luego sumando el segundo término al cuadrado. En este caso, eso nos daría sin 2 (θ) + 2sin (θ) cos (θ) + cos 2 (θ) . Mantenemos el signo igual y mantenemos todo igual en el lado derecho.

Volviendo al lado izquierdo, reorganicémoslo un poco. Si ve, tenemos el pecado 2 (θ) y tenemos el cos 2 (θ), pero no están juntos. Cambiemos el segundo término y el tercer término para que podamos juntarlos.

Después de reorganizar los términos en el lado izquierdo, tenemos sen 2 (θ) más cos 2 (θ) . Y lo recordamos de nuestra identidad. Eso siempre es igual a 1. Entonces, sin 2 (θ) + cos 2 (θ) – podemos eliminarlo y reemplazarlo con un simple 1.

Después de usar la identidad pitagórica para hacer una simplificación, nos queda 1 + 2sin (θ) cos (θ) = 3x + 2 (sin (θ) cos (θ)) .

Podemos simplificar esto aún más restando los términos 2sin (θ) cos (θ) de cada lado. Como está en ambos lados y podemos restarlo, lo eliminará de cada lado del signo igual. Nos queda 1 = 3x .

Ahora las cosas empiezan a verse mucho mejor. Queremos resolver para x , por lo que necesitamos hacer la operación inversa de 3. Dado que 3 se multiplica por x , queremos deshacer eso. Entonces, dividiremos entre 3. Y no puedes simplemente dividir un lado de la ecuación entre 3; debes hacerlo por ambos lados. Se elimina el 3 y nos queda 1/3 = x

Resumen de identidades

Podemos obtener la identidad pitagórica trigonométrica básica haciendo solo un pequeño ajuste en el teorema de Pitágoras. Es sin 2 (θ) + cos 2 (θ) = 1 .

Podemos usar esta primera identidad y dividirla por el primer término y obtener 1 + cot 2 (θ) = csc 2 (θ) .

Y finalmente, podemos volver a esa identidad original y dividir todo por el segundo término para darnos tan 2 (θ) + 1 = sec 2 (θ) .

Los resultados del aprendizaje

Esta lección debería mostrarle cómo:

• Reconocer qué son las identidades trigonométricas y memorizar las tres básicas.
• Entender el pecado y la cos
• Memorizar cuna y csc
• Reconocer aplicaciones para bronceado y sec
• Entender cómo usar las identidades en trig

Rodrigo Ricardo Editor y fundador