Números algebraicos
En álgebra, los números caen en una de dos categorías: algebraicos o trascendentales. Es importante comprender la diferencia entre números algebraicos y trascendentales porque estos números son la base del álgebra y las matemáticas superiores.
Antes de entrar en las definiciones de estas dos categorías, repasemos brevemente polinomios, coeficientes y números racionales. Los números racionales son números que se pueden escribir como la división de dos enteros. Recuerda que los polinomios con coeficientes racionales son funciones, como x + 4 y x ^ 2 + 3 x – 1. Nuestros coeficientes – 1, 4 en la primera función y 1, 3, -1 en la segunda función – son todos números racionales . Para encontrar la solución de un polinomio, igualamos el polinomio a 0 y luego resolvemos la variable. Un número algebraico es cualquier número que sea la solución de un polinomio con coeficientes racionales.
Por ejemplo, 5 es un número algebraico porque es la solución de x – 5 = 0. La raíz cuadrada de 5 también es un número algebraico porque es la solución de x ^ 2 – 5 = 0. El número imaginario i también es un número algebraico porque es la solución de x ^ 2 + 1 = 0. Como podemos ver, todo número algebraico está definido por un polinomio, por eso decimos que los números algebraicos son definibles.
Si bien todos los números racionales son algebraicos, no todos los números algebraicos son racionales. Los números algebraicos pueden ser radicales, números irracionales e incluso el número imaginario. Siempre que el número sea la solución de un polinomio con coeficientes racionales, se incluye en la categoría de números algebraicos.
Números trascendentales
Si un número no es un número algebraico, entonces se considera un número trascendental . Entonces, los números trascendentales son aquellos números que no son las soluciones de polinomios con coeficientes racionales.
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Aquí hay algunos ejemplos de números trascendentales.
El primer número trascendental que se demostró fue la constante de Liouville , 0.11000100000000000000000100 ……, ¡donde hay un 1 en cada n! lugares después del punto decimal. 1! es igual a 1, por lo que hay un 1 en el primer lugar después del decimal. 2! es igual a 2, por lo que hay un 1 en el segundo lugar después del decimal. 3! es igual a 6, por lo que hay un 1 en el sexto lugar después del decimal.
El siguiente número que se demostró como un número trascendental fue la constante e . Se probó en el año 1873. En 1884, se demostró que el número pi también era un número trascendental.
La constante de Liouville, la constante e y el número pi son números que no se pueden obtener resolviendo un polinomio con coeficientes racionales. ¡No importa cuánto lo intentes!
Otro aspecto de los números trascendentales es que también son irracionales. Un número irracional es un número que no se puede escribir como fracción de dos enteros. Estos son números decimales que van hasta el infinito sin repetirse. Pero el hecho de que todos los números trascendentales sean irracionales no significa que todos los números irracionales sean trascendentales.
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¿Qué tan comunes son estos números?
Entonces, ¿qué tipo de número es más común? Tanto los números algebraicos como los trascendentales son infinitos en cantidad, pero los números trascendentales son mucho más comunes. Para ayudarnos a entender por qué, usemos una analogía.
Imagine por un minuto que tenemos una bolsa que contiene una cantidad infinita de letras y espacios. Puede extraer tantos como desee, pero debe colocarlos en el orden en que están dibujados. ¿Con qué frecuencia crees que terminarías con una oración adecuada en lugar de una completa tontería?
Ahora, a pesar de que ha estado condenado a repetir este ejercicio para siempre, decide tomar un breve descanso después de haberlo hecho solo un millón de veces. Cuando observa todas las combinaciones con su ojo realmente agudo, ve tres combinaciones que son oraciones reales. Las oraciones eran bastante fáciles de contar, así que diríamos que eran contables. Si luego intentara contar todas las otras combinaciones, probablemente perdería la esperanza debido a la gran cantidad de ellas y diría que eran incontables.
Los números algebraicos son como las oraciones. No los conocemos todos, pero están bien definidos, y aunque hay una cantidad infinita de ellos, los números algebraicos son contables. Por otro lado, los números trascendentales son como todas esas otras combinaciones sin sentido. También son infinitos, pero como vimos en nuestro pequeño tamaño de muestra de unos pocos trillones, había muchas más combinaciones sin sentido que oraciones reales.
Debido a que hay tantos números trascendentales, en matemáticas decimos que son incontables. Entonces, los números trascendentales son incontables.
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Resumen de la lección
¿Ahora puedes recordar lo que acabamos de cubrir?
Un número algebraico es cualquier número que sea una solución de un polinomio con coeficientes racionales. Si bien todos los números racionales son algebraicos, no todos los números algebraicos son racionales. Los números algebraicos pueden ser radicales, números irracionales e incluso el número imaginario i . Y aunque son infinitos, son contables y definibles.
Un número trascendental es cualquier número que no sea un número algebraico. Ejemplos de números trascendentales incluyen la constante de Liouville , la constante e y el número pi. Todos los números trascendentales son irracionales, pero no todos los números irracionales son trascendentales. Los números trascendentales son infinitos e incontables porque hay muchos más trascendentales que algebraicos.
Los resultados del aprendizaje
Una vez que haya terminado con esta lección, debería poder:
- Recuerde la definición de números algebraicos y trascendentales.
- Identificar un número algebraico o trascendental
- Explica por qué los números trascendentales se consideran incontables.
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