Hipérbola: definición, fórmula y ejemplos

Hipérbolas en la vida real

Si se parara en el suelo y lanzara una pelota al aire, la pelota dejaría que su mano alcanzara una cierta altura y luego volvería a caer al suelo. El camino que tomaría la pelota se vería como un arco. Si este camino fuera visible y de alguna manera pudieras sostenerlo frente a un espejo gigante, entonces el camino y su reflejo crearían una hipérbola. Esta lección le dará el método mediante el cual se puede tomar una ecuación de una hipérbola y encontrar su centro, vértices y asíntotas y luego graficarla.

Definición y forma estándar

En esta imagen podemos ver cómo se crea una hipérbola a partir de la intersección de un plano y dos conos que se encuentran en sus puntas. Una hipérbola puede abrirse hacia la izquierda y hacia la derecha o hacia arriba y hacia abajo. Una definición más formal de una hipérbola es una colección de todos los puntos, cuyas distancias a dos puntos fijos, llamados focos (plural para foco), es una diferencia constante. La ecuación de una hipérbola en forma estándar es:

(( x – h ) ^ 2 / a ^ 2) – (( y – k ) ^ 2 / b ^ 2) = 1

El x y y son intercambiables y ambos le dan una ecuación de una hipérbola. Veamos algunas de sus partes.

Centrar

Observe cómo la hipérbola tiene dos ejes de simetría: uno vertical y otro horizontal. Puede doblar la hipérbola de modo que la mitad quede completamente encima de la otra mitad. Los pliegues crearán dos líneas. El punto en el que se cruzan el pliegue vertical y el pliegue horizontal se denomina centro de la hipérbola. Usando la forma estándar de la hipérbola, el centro está ubicado en el punto ( h , k ).

Vértices

El vértice de una parábola es el punto más bajo de una parábola si se abre y el punto más alto si se abre hacia abajo. Los vértices de una hipérbola (que se compone de dos parábolas) es el vértice de cada rama de la hipérbola. Para usar la forma estándar de la hipérbola para encontrar los vértices, debes notar si el término positivo es x ^ 2 o y ^ 2. Si el término positivo es x ^ 2, los vértices se encuentran en ( h + a , k ) y ( h – a , k ). Si y ^ 2 es el primer término, los vértices se encuentran en ( h , k +b ) y ( h , k – b ).

Asíntotas

Las asíntotas de una hipérbola son dos líneas que se encuentran entre las dos ramas de la hipérbola. La intersección de las dos líneas se produce en el centro de la hipérbola. Las líneas se acercan mucho a la hipérbola misma, pero no la cruzan. Si la ecuación tiene un término x ^ 2 positivo , entonces las ecuaciones para las líneas serán:

• ( y – k ) = + b / a ( x – h )
• ( y – k ) = – b / a ( x – h )

Si el término y ^ 2 es positivo, las ecuaciones serán las mismas, excepto que b / a se reemplaza por a / b .

Completar el cuadrado

En la forma estándar de la ecuación, los valores para un , b , g , y k son accesibles. Conocer estos valores hará posible graficar la hipérbola. Convertir la ecuación de una hipérbola para que esté en la forma estándar requiere la capacidad de completar el cuadrado .

Ejemplo

Pon la siguiente ecuación en forma estándar:

4 x ^ 2 – y ^ 2 – 24 x + 4 y + 28 = 0

Agrupe los términos de modo que los términos x estén juntos, los términos y estén juntos y la constante esté en el lado derecho de la ecuación:

(4 x ^ 2 – 24 x ) + (- y ^ 2 + 4 y ) = -28

Factoriza cualquier factor común de cada grupo:

4 ( x ^ 2-6 x ) – 1 ( y ^ 2-4 y ) = -28

Agregue lo que sea necesario a cada agrupación para completar el cuadrado:

4 ( x ^ 2-6 x + 9) – 1 ( y ^ 2-4 y + 4) = -28 + 4 (9) – 1 (4)

Factoriza y simplifica:

4 ( x – 3) ^ 2 – 1 ( y – 2) ^ 2 = 4

Divida la ecuación por los factores frente a las agrupaciones:

(( x – 3) ^ 2) / 1 – (( y – 2) ^ 2) / 4 = 1

Usando el formulario estándar:

• h es 3
• k es 2
• a es 1
• b es 2

Graficar hipérbolas

Paso uno: Para graficar una hipérbola, deberá determinar los valores de h , k , a y b poniendo la ecuación en la forma estándar, si aún no lo está.

Paso dos: encuentra y dibuja el centro ( h , k )

Paso tres: dibuja los vértices de la hipérbola

Paso cuatro: Dibuja las asíntotas. Estas dos líneas deben cruzarse entre sí en el centro.

Paso cinco: Dibuja las dos ramas de la hipérbola que se acercan a las asíntotas y cruzan el vértice.

Ejemplo

25 x ^ 2-16 y ^ 2-100 x – 32 y – 316 = 0

Paso uno: poner en forma estándar

(( x – 2) ^ 2/16) – (( y + 1) ^ 2/25 = 1

h = 2, k = -1, a = 4, b = 5

Paso dos: encontrar y trazar el centro

( h , k ) es (2, -1)

Paso tres: encontrar y graficar los vértices

El x ^ 2 es positivo por lo que los vértices se encuentran en ( h + a , k ) y ( h – a , k )

(6, -1) (-2, -1)

Paso cuatro: encontrar y dibujar las asíntotas

El x ^ 2 es positivo, entonces la pendiente es b / a , – b / a , lo que nos da 5/4 y -5/4, y pasa por el centro (2, -1)

Paso cinco: dibuja las ramas de la hipérbola

25x ^ 2 – 16 años ^ 2 – 100x – 32 años – 316 = 0

Resumen de la lección

Hyberbolas son una de las secciones cónicas. Eso significa que se crean cuando se corta un plano a través de dos conos. La forma estándar de una hipérbola es:

(( x – h ) ^ 2 / a ^ 2) – (( y – k ) ^ 2 / b ^ 2)

De esta forma, puede determinar h , k , a y b, lo que permite encontrar el centro, los vértices y las asíntotas de una hipérbola. También le permite graficar una hipérbola.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador