Cómo encontrar ecuaciones de líneas con pendientes y puntos dados

Pendiente de una línea

¿Alguna vez ha estado subiendo una colina empinada y se preguntó qué tan empinada era? En otras palabras, ¿qué tan alto vas para cada unidad que vas horizontalmente?

Pendiente

Esta velocidad a la que cambia su distancia vertical con respecto a su distancia horizontal se denomina pendiente de la colina. En matemáticas, la pendiente de una línea determina qué tan empinada es la línea. Es la tasa a la que y está cambiando con respecto a x . Cuando tenemos dos puntos en una línea, ( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 ), podemos calcular la pendiente usando la siguiente fórmula, donde m es la pendiente:

En esta lección, veremos cómo podemos encontrar la ecuación de una línea con solo conocer la pendiente de la línea y un punto en esa línea, o incluso simplemente conociendo dos puntos. ¡Empecemos!

Forma punto-pendiente de una línea

Cuando se trata de la ecuación de una línea, tenemos un par de formas especiales de la ecuación. Uno de ellos es la forma punto-pendiente de una línea. La forma punto-pendiente de una línea es una fórmula que es útil cuando conocemos la pendiente, m , de una línea y un punto en esa línea, ( x 1 , y 1 ). Podemos reemplazar la pendiente y el punto en la siguiente forma punto-pendiente de la línea para encontrar una ecuación de la línea.

y – y 1 = m ( x – x 1 )

Consideremos un ejemplo de esto. Supongamos que tenemos una recta con pendiente m = 4, y contiene el punto ( x 1 , y 1 ) = (5,2). Podemos reemplazar estos valores en nuestra forma punto-pendiente de nuestra línea, y tenemos una ecuación de la línea.

y – 2 = 4 ( x – 5)

Podemos simplificar esto distribuyendo el 4 y luego sumando 2 a ambos lados.

Vemos que la ecuación de nuestra línea es y = 4 x – 18. ¡Es genial que lo hayamos descubierto con solo la pendiente de la línea y un punto en la línea!

Ahora, suponga que le dije que tengo una línea con los puntos (5,2) y (1,14). ¿Alguna idea sobre cómo podríamos encontrar la ecuación de la línea? Tenemos un punto en la línea. Cualquiera de los dos servirá, pero también necesitamos tener la pendiente. ¡Ah-ja! Podemos usar nuestra fórmula de pendiente para encontrar la pendiente de la línea y luego usar eso y uno de los puntos para reemplazar nuestra forma punto-pendiente de la línea.

Primero, necesitamos encontrar nuestra pendiente.

Vemos que nuestra pendiente es m = -3. Ahora solo necesitamos reemplazar esa pendiente y cualquiera de los puntos de la línea en nuestra forma punto-pendiente de la línea y simplificar. Usemos (5,2), pero obtendrás el mismo resultado con (1,14).

Vemos que la ecuación de nuestra línea es y = -3 x + 17. ¡Todo eso por conocer dos puntos en la línea!

¿Por qué es útil esto?

Una vez que tenemos una ecuación para una línea, podemos analizar la línea y lo que está modelando más fácilmente. Por ejemplo, suponga que está apartando $ 50 por semana para ahorrar para una bicicleta que cuesta $ 450. Tienes dos semanas. Después de la primera semana, tienes $ 50 y después de la segunda semana, tienes $ 100. Quiere saber cuántas semanas le llevará llegar a $ 450.

Dejemos que y sea ​​la cantidad total de dinero que ha reservado yx el número de semanas que han pasado desde que comenzó a ahorrar. Sabemos que después de 1 semana, tenemos $ 50. Esto nos da el punto (1,50). De manera similar, después de dos semanas, tenemos $ 100, por lo que esto da el punto (2100). Tenemos dos puntos, ¡así que podemos encontrar nuestra pendiente!

La pendiente de nuestra línea es m = 50. Ahora podemos reemplazar esta pendiente y cualquiera de nuestros puntos en nuestra forma punto-pendiente de nuestra línea. Usemos el punto (1,50)

Vemos que la ecuación de nuestra línea es y = 50 x . Esto representa cuánto dinero hemos ahorrado después de x semanas. Queremos saber cuántas semanas se necesitarán para llegar a $ 450 para que podamos conseguir nuestra bicicleta. Por lo tanto, simplemente sustituimos 450 por y y resolvemos para x .

Esto nos dice que nos llevará 9 semanas ahorrar suficiente dinero para comprar nuestra nueva bicicleta. ¡No puedo esperar!

Resumen de la lección

La pendiente de una recta es la tasa a la que y cambia con respecto a x . Nos dice qué tan empinada es la línea. Cuando conocemos dos puntos en la recta, ( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 ), podemos calcular la pendiente usando la siguiente fórmula.

Cuando tenemos la pendiente de una línea y un punto en esa línea, podemos encontrar una ecuación de la línea usando la forma punto-pendiente de una línea .

y – y 1 = m ( x – x 1 )

También podemos encontrar la ecuación de una línea cuando solo tenemos dos puntos en la línea al encontrar la pendiente y luego reemplazar la pendiente y uno de los puntos en la forma punto-pendiente de una línea.

Como hemos visto, es extremadamente útil poder encontrar la ecuación de una línea, por lo que este proceso es definitivamente algo que desea guardar en su caja de herramientas matemáticas.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador