Uso de trigonometría para trabajar con vectores

¿Qué es un vector?

Amy quiere empujar el frigorífico por el suelo para coger una escalera, subirla y luego empujar con mucha fuerza la parte superior del frigorífico. ¿Crees que eso funcionará? ¡Está bastante claro que empujar la parte superior del refrigerador no hará que se mueva por la habitación!

¿Qué pasa si, en cambio, aplica la misma fuerza al costado del refrigerador? Esa es una idea mucho mejor, ¿verdad? Se necesita fuerza para mover un refrigerador, pero no es suficiente saber la cantidad de fuerza que debe aplicar, también necesita saber en qué dirección aplicar la fuerza. Esto se debe a que una fuerza es un tipo de cantidad matemática conocida como vector. Un vector es cualquier cantidad, como fuerza, que tiene una magnitud (cantidad) y una dirección. Algunos ejemplos comunes de cantidades vectoriales son fuerza, desplazamiento, velocidad y aceleración.

¿Qué pasa si tienes varios vectores y necesitas sumarlos? La suma de dos vectores se conoce como resultante y puede usar la trigonometría para encontrarla.

Qué hacer cuando los vectores forman un ángulo recto

Los vectores se pueden representar gráficamente mediante una flecha. La longitud de la flecha debe corresponder a la magnitud del vector, y la dirección en la que se dibuja la flecha debe corresponder a la dirección del vector.

Para sumar dos vectores gráficamente, primero dibuje uno de los vectores en una hoja de papel. Luego dibuja el segundo vector desde el FIN del primer vector. Asegúrese de dibujar flechas en los extremos de los vectores para saber en qué dirección van.

Por ejemplo, veamos el siguiente problema y veamos cómo dibujar los vectores gráficamente:

• Si Sam sale de su casa y camina 50 m en línea recta, luego da un giro de 90 grados y camina otros 20 m, ¿a qué distancia de su casa termina?

Para comenzar a responder a esta pregunta, dibuje el primer desplazamiento (50 m) y luego el segundo desplazamiento (20 m) desde el final del primero, así:

Para encontrar la resultante, que te dirá qué tan lejos está Sam de su casa, dibuja un vector desde el COMIENZO del primer vector hasta el FINAL del segundo vector. Esto forma un triángulo, por lo que puede usar algo de trigonometría para encontrar tanto la magnitud como la dirección de la resultante.

Hay dos formas básicas en las que puede usar la trigonometría para encontrar la resultante de dos vectores, y el método que necesita depende de si los vectores forman un ángulo recto o no. En este caso, forman un ángulo recto, por lo que puede usar el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la hipotenusa del triángulo, lo que le dará la magnitud de la resultante.

Recuerde que todos los vectores tienen una magnitud y una dirección. ¡Eso es lo que los convierte en vectores! Acaba de encontrar la magnitud de la resultante, pero también necesita encontrar su dirección. Para encontrarlo, puede usar la función trigonométrica tangente, que es igual al lado opuesto al ángulo (20 m) dividido por el lado adyacente al ángulo (50 m).

Entonces, en este caso, Sam termina a una distancia de 53,9 m desde donde comenzó a lo largo de una línea que está a 22 grados de su dirección original. ¡Ahora tienes tanto la magnitud como la dirección de la resultante!

Qué hacer cuando los vectores NO forman un ángulo recto

¿En qué se diferencia este proceso cuando los vectores no forman un ángulo recto? Veamos un ejemplo.

• Se aplican dos fuerzas al mismo objeto. Se aplica una fuerza de 10 N horizontalmente y una fuerza de 25 N en un ángulo de 30 grados con la horizontal. ¿Cuál es la fuerza total aplicada al objeto?

Al igual que lo hizo antes, comience dibujando el primer vector y luego el segundo vector desde el final del primero. Observe que si el primer vector forma un ángulo de 30 grados con la horizontal, formará un ángulo de 150 grados con el primer vector porque estos dos ángulos juntos forman una línea recta, lo que los hace suplementarios. La resultante se debe dibujar desde el principio del primer vector hasta el final del segundo.

Debido a que NO es un triángulo rectángulo, no puedes simplemente usar las funciones trigonométricas como seno, coseno y tangente para encontrar los lados y ángulos de este triángulo. En su lugar, puede utilizar las relaciones conocidas como Ley de los senos y Ley de los cosenos, que le permiten encontrar los lados y ángulos de CUALQUIER triángulo, no solo un triángulo rectángulo.

Entonces, si conoce dos de los lados del triángulo y el ángulo entre ellos, puede usar la Ley de los cosenos para encontrar el otro lado, que es la resultante en este caso.

Entonces, ahora sabe que la magnitud de la fuerza total es 34 N, pero aún necesita encontrar la dirección. Como conoce los tres lados del triángulo y uno de los ángulos, puede usar la Ley de los senos para encontrar la dirección de la resultante.

Resumen de la lección

Un vector es cualquier cantidad, como fuerza, que tiene una magnitud (cantidad) y una dirección. Algunos ejemplos comunes de cantidades vectoriales son fuerza, desplazamiento, velocidad y aceleración.

La suma de dos vectores se conoce como resultante y puede usar la trigonometría para encontrarla.

Para encontrar la resultante de dos vectores usando trigonometría, primero dibuje uno de los vectores y luego dibuje el segundo vector desde el final del primero. La resultante debe dibujarse desde el principio del primer vector hasta el final del segundo vector.

Si los vectores forman un triángulo rectángulo, puedes usar el Teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente para encontrar la magnitud y dirección de la resultante.

Si los vectores NO forman un triángulo rectángulo, puede usar la Ley de los senos y la Ley de los cosenos para encontrar la magnitud y la dirección de la resultante.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador