Usar ángulos con vectores

Vectores

Cada automóvil tiene un velocímetro, que le dice al conductor qué tan rápido se están moviendo. Esta es una velocidad, pero no una velocidad. Para ser una velocidad, el panel de instrumentos debería indicar la dirección en la que se mueve el automóvil. La velocidad es un vector, que incluye una magnitud (velocidad) y una dirección. Por ejemplo, un automóvil se mueve a 60 millas por hora, a 70 °.

Coordenadas rectangulares

Los vectores están representados por flechas. Muchas veces es útil saber dónde termina un vector enumerando las coordenadas rectangulares de esa ubicación. Las coordenadas rectangulares se representan como (x, y). Veamos un ejemplo en el que podemos determinar el punto de terminación de un vector.

Ejemplo 1

Pregunta: un automóvil tiene una velocidad de 60 millas por hora, a 70 °. Esta es una coordenada polar porque da la longitud de un vector y su ángulo en relación con el eje x. Represente este vector en una cuadrícula y determine su punto de terminación en coordenadas rectangulares.

Solución: Primero, representamos este vector en una cuadrícula xy.

El vector de velocidad está representado por la flecha roja

Observe que en el diagrama del vector hay una componente de la velocidad en la dirección x (hacia el este) y una componente de la velocidad en la dirección y (hacia el norte). Para determinar las velocidades de estos componentes, tenemos que usar funciones trigonométricas.

Funciones trigonométricas

Usaremos la función seno para determinar la componente hacia el norte de la velocidad del automóvil y la función coseno para determinar la componente hacia el este de la velocidad del automóvil.

Determinación de las componentes xey de un vector de velocidad

Comenzando con la velocidad hacia el norte obtenemos

Calcular la velocidad hacia el norte

Ahora usaremos la función coseno para determinar la componente hacia el este de la velocidad del automóvil.

Calculando la velocidad hacia el este

Las coordenadas rectangulares son (46.4,38). Trabajemos ahora con un ejemplo en el que se nos dan coordenadas rectangulares y tenemos que convertirlas en coordenadas polares.

Coordenadas polares

Las coordenadas polares representan lo mismo que las coordenadas rectangulares, pero la información se da de manera diferente. Es como decir algo en inglés y luego decir lo mismo en francés. Trabajemos un ejemplo cambiando coordenadas rectangulares en coordenadas polares.

Ejemplo 2

Indicación: un ciclista viaja 5 m / s al este y 1 m / s al norte (5,1). Determine la velocidad del ciclista en coordenadas polares.

El punto en la punta del vector rojo es la ubicación (5,1)

Solución: Podemos usar el teorema de Pitágoras para determinar la magnitud del vector vo podemos usar la función tangente. Usemos la función tangente.

Calcular el ángulo del vector

Podemos usar las funciones seno o coseno para determinar la magnitud del vector, v . Usemos coseno.

Calcular la magnitud de la velocidad

La velocidad del ciclista es de aproximadamente 5,1 m / s, a 11 °.

Ahora aprendamos a sumar y restar vectores.

Sumar y restar vectores

Podemos comparar sumar y restar vectores con sumar y restar variables en álgebra. Por ejemplo. 2x + y + 3x se puede simplificar para dar 5x + y. Se nos permite sumar los términos x porque tienen la misma variable. La misma regla se aplica a los vectores, excepto que estamos hablando de vectores componentes. Solo podemos agregar componentes x a componentes x y componentes y a componentes y. Usamos vectores unitarios para representar direcciones puras. î representa los vectores en la dirección xy ĵ representa los vectores en la dirección y.

Si tiene que restar vectores en notación de vector unitario, asegúrese de distribuir el signo negativo. Por ejemplo:

2 î + 3 ĵ – (- 3 î + 5 ĵ) se convierte en

2 î + 3 ĵ + (3 î – 5 ĵ) resultando en

5 î – 2 ĵ

Trabajemos un ejemplo usando vectores unitarios que involucran fuerzas que actúan sobre una masa en un solo punto.

Ejemplo 3

Pregunta: Una masa de 100 kg tiene 3 fuerzas que actúan sobre ella, como se representa en la Tabla 1.

Determine la fuerza neta sobre la masa. En otras palabras, suma los vectores.

Solución: Todo lo que tenemos que hacer es agregar los componentes î por separado de los componentes ĵ. Todas estas son fuerzas con unidades de newton, por lo que no tenemos que incluir las unidades.

Sumar y restar vectores

Después de sumar los vectores î y los vectores ĵ por separado obtenemos

Podríamos cambiar esto a coordenadas rectangulares dándonos cuenta de que î es el valor de x, y ĵ es el valor de y que nos da (-130,90).

Resumen de la lección

Las coordenadas rectangulares son los puntos terminales de un vector listado como (x, y). También puede representar el punto de terminación de los vectores que se han sumado.

Las coordenadas polares dan la magnitud de un vector y el ángulo al que apunta el vector.

Para alternar entre coordenadas rectangulares y coordenadas polares se requiere el uso de las tres funciones trigonométricas.

Funciones trigonométricas

Solo se pueden sumar y restar vectores cuando los vectores están en forma de componentes. Solo se pueden agregar vectores componentes a lo largo del mismo eje. Usamos î para representar vectores de componente x y ĵ para representar vectores de componente y.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador