Comparación de modelos lineales, exponenciales y cuadráticos

Modelos matemáticos

Imagina que vas a dar una vuelta. Comienzas a 3 millas de tu casa y viajas más lejos de tu casa a 30 mph disfrutando del paisaje. ¡Te voy a mostrar algo realmente genial! De hecho, puede modelar qué tan lejos está de su casa usando la ecuación y = 30 x + 3, donde y es la distancia a la que se encuentra de su casa y x es la cantidad de horas que ha estado conduciendo.

Entonces, ¿por qué es tan lindo? Bueno, porque puede usar este modelo para calcular la distancia desde su casa en cualquier momento durante su viaje. Por ejemplo, suponga que ha estado conduciendo durante media hora. Puede conectar 1/2 para x y averiguar qué tan lejos está de su casa.

Después de media hora de conducción, se encuentra a 18 millas de su casa.

La ecuación que representa tu distancia es un ejemplo de modelo matemático . Usamos modelos matemáticos para representar fenómenos del mundo real y resolver problemas todo el tiempo. Veremos tres tipos de modelos matemáticos: lineal, exponencial y cuadrático, y veremos las características de cada uno.

Modelos lineales

La ecuación y = 30 x + 3 en nuestro ejemplo de conducción es un ejemplo de un modelo lineal . En general, un modelo lineal adopta la siguiente forma:

En una ecuación lineal, el exponente más alto de la variable x es 1. La gráfica de una ecuación lineal es una línea. Para ver esto, observe la gráfica de nuestro modelo lineal y = 30 x + 3.

Vemos que la gráfica es una línea. Esto nos dice que la distancia a la que se encuentra de su casa está cambiando a un ritmo constante. Vemos que modelando la situación con un modelo lineal, como hicimos, podemos analizar mejor la situación.

Modelos exponenciales

Considere el siguiente escenario. Tiene $ 100 que le gustaría depositar en una cuenta de ahorros. Vas al banco y te dicen que te darán un interés compuesto anual del 2%. ¿No sería fantástico si pudiera saber cuánto dinero habrá en la cuenta después de un determinado número de años? ¡Tengo buenas noticias! Una vez más, tenemos un modelo matemático que resolverá este problema. Es decir, la ecuación y = 100 (1 + .02) x , o y = 100 (1.02) x , donde y es la cantidad en la cuenta después de x años, nos da la información deseada.

¡Increíble! Podemos saber exactamente cuánto habrá en la cuenta después de un número determinado de años. Por ejemplo, si quisiéramos saber cuánto habrá en la cuenta después de 2 años, conectamos 2 por x y evaluamos.

Vemos que después de 2 años, la cuenta tendrá $ 104.04. ¡Felicidades! Ganaste $ 4.04 en intereses. No mucho, ¡pero todo ayuda!

Este modelo es un ejemplo de modelo exponencial. En general, un modelo exponencial toma la siguiente forma:

Un fenómeno que puede ser modelado por un modelo exponencial toma el patrón de aumentar / disminuir lentamente y luego rápidamente, o rápido y luego lentamente. Por ejemplo, echemos un vistazo a la gráfica de nuestro modelo exponencial y = 100 (1.02) x .

Vemos que la gráfica aumenta lentamente al principio, y luego más rápidamente, y toma una forma general de modelo exponencial. Podemos utilizar nuestro modelo y su gráfico para analizar su cuenta de ahorros.

Modelos cuadráticos

¿Eres fanático del baloncesto? Incluso si no lo está, probablemente haya oído hablar de un tiro libre. ¿Bien adivina que? Este es otro ejemplo más de fenómenos del mundo real que se pueden modelar matemáticamente. En general, un tiro libre se puede representar mediante un modelo cuadrático. Un modelo cuadrático toma la siguiente forma general:

Modelamos fenómenos con un modelo cuadrático cuando adopta el patrón de aumentar, alcanzar un pico, luego disminuir o disminuir, alcanzar un punto bajo y luego aumentar. Para imaginar esto, piense en un tiro libre en el baloncesto. La pelota sale de las manos del jugador, se eleva en el aire, golpea un punto alto y luego comienza a caer, con suerte en la canasta.

Debido a cómo se comporta un modelo cuadrático, la gráfica de una ecuación cuadrática toma la forma de una U o una U invertida. Llamamos a la gráfica de una ecuación cuadrática una parábola , y el punto alto o bajo de la gráfica es un vértice .

Para ilustrar esto, considere el tiro libre modelado por el modelo cuadrático y = -0.06 x 2 + 1.5 x + 6. Se muestra la gráfica de este modelo.

Observa que la gráfica forma una U invertida con un punto máximo.

Resumen de la lección

Los modelos matemáticos se pueden utilizar para representar fenómenos del mundo real y permitirnos analizar mejor los problemas. Hemos analizado modelos lineales , exponenciales y cuadráticos . Se muestra la forma general de cada modelo:

Cada modelo tiene diferentes características que los hacen apropiados para modelar diferentes escenarios. Si está modelando algo que aumenta o disminuye a una tasa constante, un modelo lineal es una buena forma de hacerlo. Si está modelando algo que aumenta o disminuye lentamente y luego rápidamente, o rápidamente y luego lentamente, entonces debería intentar usar un modelo exponencial. Por último, si está modelando algo que aumenta, alcanza un máximo, luego disminuye o disminuye, alcanza un mínimo y luego aumenta, utilice un modelo cuadrático. Al estar familiarizado con estos diferentes tipos de modelos y cómo se comportan, tenemos una mejor idea de cuáles usar en diferentes situaciones.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador