Aproximación lineal
Suponga que está en un carnaval y el locutor dice que están organizando un concurso para ver quién puede adivinar más cerca del valor de √ (9.24). Sabes que √ (9) = 3, por lo que debe ser que √ (9.24) sea un poco más de 3, pero quieres estar lo más cerca posible para ganar el concurso.
¡Buenas noticias! Tenemos una forma de aproximar este valor sin una calculadora, y se llama usando aproximación lineal. La aproximación lineal implica encontrar la ecuación de una recta tangente a la función en un valor dado de x , y usarla para aproximar el valor de la función para los puntos cercanos.
Para poner esto en perspectiva, consideremos la función f ( x ) = √ ( x ). Si pudiéramos encontrar una línea cercana a la función en x = 9.24, podemos usarla para aproximar f (9.24), o √ (9.24), que es exactamente lo que queremos hacer.
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Gráficas Lineales Positivas y Negativas: Funciones y ejemplos
Observe que la recta tangente de f ( x ) = √ ( x ) en x = 9 tiene valores que están muy cerca de los valores de la función de f ( x ) cuando x está cerca de 9, entonces si pudiéramos encontrar la ecuación de esta recta , podríamos usarlo para estimar el valor de f ( x ) en 9.24, y encontrar un valor aproximado para √ (9.24).
En general, si encontramos una línea para usar en aproximación lineal que pasa por un punto ( a , f ( a )), usamos la siguiente fórmula:
L ( x ) = f ( a ) + m ( x – a ), donde m es la pendiente de la línea en x = a .
En este caso, nuestra recta es tangente af ( x ) = √ ( x ) y pasa por el punto (9, f (9)) = (9, 3). Conectando estos valores da:
L ( x ) = f (9) + metro ( x – 9) = 3 + metro ( x – 9)
Sistemas No Lineales: Definición, funciones y ecuaciones
Espera un segundo, ¿qué pasa con m ? ¿Cómo encontramos la pendiente en x = 9? Aquí es donde entran en juego los diferenciales. ¡Vamos a explorar!
Diferenciales
Al encontrar la aproximación lineal para una función f ( x ) en el punto ( a , f ( a )), acabamos de ver que la fórmula general es L ( x ) = f ( a ) + m ( x – a ), donde m es la pendiente de la recta en x = a . Para encontrar la m , usamos el hecho de que la derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la recta tangente en ese punto. Por lo tanto, esta fórmula general para la aproximación lineal se puede reescribir de la siguiente manera:
L ( x ) = f ( a ) + f ‘( a ) ( x – a )
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Cómo resolver funciones lineales
¡Excelente! Entonces, todo lo que tenemos que hacer es encontrar la derivada de f ( x ) y colocar 9 en ella, ¡y tendremos todas las partes de nuestra fórmula!
Para encontrar la derivada de f ( x ) = √ ( x ), reescribámosla como f ( x ) = x (1/2) . Ahora podemos usar la siguiente regla: La derivada de x n es n x ( n -1)
Así tenemos el siguiente:
f ‘( x ) = (1/2) x (-1 / 2) y f ‘ (9) = (1/2) (9) (-1/2) = (1/2) (1/3) = 1/6
Todos juntos tenemos lo siguiente:
L ( x ) = f (9) + f ‘(9) ( x – 9)
= 3 + (1/6) ( x – 9)
= 3 + (1/6) x – (9/6)
= 1,5 + (1/6) x
L ( x ) = 1,5 + (1/6) x .
¡Todo lo que tenemos que hacer es introducir 9.24 en esta fórmula para x y tenemos nuestra aproximación!
- L (9,24) = 1,5 + 1/6 (9,24) = 3,04
Envías tu respuesta al concurso, y el locutor continúa verificando el valor de √ (9.24) en una calculadora y obtiene 3.0397368307. Vemos que 3.4 es una aproximación muy cercana, ¡y felicidades! ¡Ganaste el concurso!
Resumen de la lección
La aproximación lineal implica encontrar la ecuación de una recta tangente a la función en un valor dado de x , y usarla para aproximar el valor de la función para los puntos cercanos. Este proceso involucra diferenciales en el sentido de que la fórmula para una función lineal que es una aproximación lineal de la función f ( x ) en el punto ( a , f ( a )) incluye la derivada de f ( x ). Es decir:
L ( x ) = f ( a ) + f ‘( a ) ( x – a )
Para realizar una aproximación lineal utilizando diferenciales, utilizamos los siguientes pasos:
- Identifica la función f ( x ) y el punto ( a , f ( a )) que estás usando para realizar la aproximación lineal.
- Encuentre f ‘( x ) y utilícelo para encontrar f ‘ ( a ).
- Reemplace a , f ( a ) y f ‘( a ) en la fórmula de aproximación lineal L ( x ) = f ( a ) + f ‘ ( a ) ( x – a ).
- Utilice esta fórmula para aproximar los valores de la función f ( x ) para los valores de x cerca de a .
Este proceso es extremadamente útil cuando necesitamos una aproximación cercana del valor de una función, ¡así que asegurémonos de tenerlo en cuenta para uso futuro!
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