Ángulo diedro
Mire alrededor de la habitación en la que se encuentra en este momento y observe dónde una de las paredes de la habitación se encuentra con el techo. Observe que donde esto sucede, se forma un ángulo. Ese ángulo se llama ángulo diedro .
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Un ángulo diedro es el ángulo entre dos planos. Recuerde que un plano es una superficie plana bidimensional. Mire de nuevo la pared y el techo y observe que ambas son superficies planas de dos dimensiones, lo que las convierte en planos. Por lo tanto, vemos que el ángulo entre ellos es un ángulo entre dos planos, por lo que es un ángulo diedro. Esa es una forma bastante elegante de describir una pared, un techo y el ángulo entre ellos, ¿eh? Los ángulos diedros aparecen en cualquier lugar donde se cruzan dos planos. Por ejemplo, un poliedro es un objeto tridimensional con polígonos como lados. Los poliedros tienen ángulos diedros entre cada uno de sus lados. Esto se debe a que los lados de un poliedro son planos, por lo que los ángulos entre ellos son ángulos diedros. Por ejemplo, considere un cubo.
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Vemos que cada uno de los lados del cubo es un plano y los ángulos entre cada uno de estos planos son de 90 grados. Por lo tanto, los ángulos diedros de un cubo son cada uno de 90 grados.
Calcular el ángulo diedro entre dos planos
Ahora que sabemos qué son los ángulos diedros, llegamos a la parte divertida: ¡calcularlos! Todos los planos tienen una ecuación que los identifica. La ecuación de un avión toma esta forma: Ax + Por + Cz + D = 0 Donde A , B , C y D son constantes y x , y y z son variables. Por ejemplo, la ecuación x + 7 y – 3 z + 8 = 0 es la ecuación de un plano. Cuando conocemos las ecuaciones de dos planos, Ax + By + Cz + D = 0 y Ex + Fy + Gz + H = 0, podemos usar la siguiente fórmula para encontrar el ángulo entre los dos planos.
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Para encontrar el ángulo diedro entre dos planos, hacemos lo siguiente. Pon las ecuaciones de tu avión en esta forma Ax + Por + Cz + D = 0 Ex + Fy + Gz + H = 0 Identificar su A , B , C , E , F , y G . 2. Inserte estos valores en su fórmula. 3. Simplifique tanto como sea posible, luego use una calculadora para encontrar el ángulo. Por ejemplo, considere estos dos planos: x + 7 y – 3 z + 8 = 0 3 x – 2 y + 4 z – 1 = 0 Estas ecuaciones están ya en la forma correcta, por lo que para encontrar el ángulo entre estos dos avión, primero identificamos A , B , C , E , F , y G . A = 1 B = 7 C = -3 E = 3 F = -2 G = 4 Los conectamos a nuestra fórmula para obtener lo siguiente:
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El ángulo diedro entre los dos planos es de 123,782 grados (redondeado a tres decimales).
Problema de ejemplo
Suponga que desea colgar un ventilador de techo en la esquina de un techo abovedado. La suspensión del ventilador de techo tiene un ángulo de 120 grados. Los dos lados del techo son planos con las siguientes ecuaciones: 2 x + 8 y – 2 z – 4 = 0 2x – y + 5z + 4 = 0 ¿Encajará el colgador del ventilador de techo en la esquina del techo abovedado? Para ver si el colgador del ventilador de techo encaja, calcularemos el ángulo diedro entre los dos lados del techo y veremos si el ángulo es lo suficientemente grande para encajar en el ángulo del colgador del ventilador de techo. Ambas ecuaciones de nuestros aviones están en la forma correcta, por lo que empezar por identificar Un , B , C , E , F , y G . A = 2 B = 8 C = -2 E = 2 F = -1 G = 5 Conectar estos valores en nuestra fórmula da lo siguiente:
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El ángulo diedro entre los dos lados del techo es de 107,532 grados (redondeado a tres decimales). Dado que el colgador del ventilador de techo es de 120 grados y el ángulo diedro entre los dos lados del techo es de solo 107,532 grados, vemos que no encaja. ¡Parece que tenemos que regresar a la ferretería y comprar una nueva percha!
Resumen de la lección
Un ángulo diedro es un ángulo entre dos planos, donde un plano es una superficie plana bidimensional. En cualquier lugar donde dos planos se crucen, hay un ángulo diedro. Cuando conocemos las ecuaciones de dos planos – Ax + By + Cz + D = 0 y Ex + Fy + Gz + H = 0 – podemos encontrar el ángulo diedro entre ellos usando la siguiente fórmula:
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Podemos agregar esta fórmula a nuestra caja de herramientas junto con toda esta información invaluable sobre los ángulos diedros. Esto nos permitirá sentirnos cómodos trabajando con este tipo de ángulos en el mundo que nos rodea.
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