Fórmula de Brahmagupta: pruebas y ejemplos

Fórmula de Brahmagupta

La fórmula de Brahmagupta , una fórmula especial para encontrar áreas, es uno de los maravillosos logros intelectuales de un astrónomo y matemático de la India del siglo VII. Su nombre era Brahmagupta y esta es su fórmula:

dónde

Probemos la fórmula de Brahmagupta y pongámosla en práctica.

Preparándose

Cualquier figura con cuatro lados se llama cuadrilátero . ‘Quad’ significa cuatro y ‘lateral’ significa lado. Si encajas un cuadrilátero dentro de un círculo y las cuatro esquinas tocan la circunferencia, tienes un cuadrilátero inscrito en un círculo, también conocido como cuadrilátero cíclico .

¿Ves cómo este cuadrilátero está inscrito en un círculo?

un , b , c y d son los lados. Estos lados son la única información necesaria para calcular el área de un cuadrilátero inscrito. S , se obtiene de una , b , c y d .

Recuerde, los detalles adicionales y las matemáticas que siguen están solo para la derivación. La fórmula en sí es simple: conocer las longitudes de los cuatro lados nos da el área de un cuadrilátero inscrito.

Una línea discontinua que conecta las esquinas opuestas y algunos ángulos.

¿Ves cómo x divide el cuadrilátero en dos triángulos? ¿Ves cómo los ángulos α y β son ángulos opuestos?

La ley de los cosenos relaciona los tres lados de cualquier triángulo. Si el ángulo, α es 90 o , entonces x 2 = a 2 + b 2 (teorema de Pitágoras). Si el ángulo no es de 90 ° , entonces

¿Qué pasa con el otro triángulo?

Ambas ecuaciones son iguales ax 2 . Así,

Los ángulos opuestos son suplementarios en un cuadrilátero cíclico. Sentido,

Usando los hechos fundamentales

Dado que α + β = 180 o , β = 180 o – α.

Que dice

Expande usando el coseno de la diferencia de dos ángulos:

Pero cos 180 o = -1 y sen 180 o = 0:

Simplificando

Recuerda como

reemplace cos β con – cos α

Agrupar términos y factores de cos α:

Un triángulo con lados, un y b , que subtienden un ángulo α tiene una superficie de (1/2) un b pecado α. Con dos triángulos, el área total es

Establecer sin β = sin (180 o – α):

Expande el seno de la diferencia de dos ángulos:

Sin 180 o = 0 y cos 180 o = -1:

Simplificando

Así,

reemplazando sen β con sen α y combinando términos

Haciendo del pecado α el tema de la ecuación:

Ésta es una expresión con sin α. Más temprano,

Estas dos expresiones se pueden relacionar usando un «truco» que involucra un triángulo rectángulo. El lado opuesto al ángulo α es 2 A mientras que la hipotenusa es a b + c d :

El seno es el opuesto, 2A, sobre la hipotenusa, ab + cd

El término de raíz cuadrada proviene del teorema de Pitágoras.

Ahora tenemos una forma de definir cos α. El coseno es el lado adyacente dividido por la hipotenusa. Refiriéndonos a nuestro triángulo rectángulo:

Volviendo a la expresión para cos α:

Sustituir cos α:

Cancelación de los unos b + c d términos:

Cuadrando ambos lados:

Expandiendo, da -16 A 2 en el lado derecho. Aislando el 16 A 2 en el lado izquierdo:

¿Recuerda la fórmula de la diferencia de cuadrados? En general, para u 2 – v 2 :

Usa la fórmula de la diferencia de cuadrados para obtener

Curiosamente:

que se puede reorganizar como

Y,

reorganiza para

Así,

Una vez más, una diferencia de cuadrados:

Vimos S antes:

Multiplicando ambos lados por 2:

y

y

y

Sustituya en nuestra ecuación 16A 2 :

Simplificando:

Factorizando los 2 (hay cuatro),

Y 2 4 = 16,

Cancelar el 16 de cada lado, sacar la raíz cuadrada de ambos lados y reordenar los factores:

Y esta es una derivación de la fórmula de Brahmagupta.

Algunos ejemplos

Un cuadrado es un cuadrilátero cíclico. Usa la fórmula de Brahmagupta para calcular el área de un cuadrado con lados iguales a 6 pulgadas. La respuesta esperada es A = 6 2 = 36 pulgadas cuadradas.

S = ( a + b + c + d ) / 2 = (6 + 6 + 6 + 6) / 2 = 24/2 = 12.

Entonces, A = √ (( S – a ) ( S – b ) ( S – c ) ( S – d )) = √ ((12 – 6) (12 – 6) (12 – 6) (12 – 6) ) = √ (12 – 6) 4 ) = (12 – 6) 2 = 6 2 = 36. ¡Como se esperaba!

Como segundo ejemplo, un cuadrilátero cíclico tiene un lado desconocido, d . Los otros lados son a = 1.286, b = 1.932 yc = 1.147. Sabiendo que el perímetro es igual a 5.365, calcula el área.

Vamos a necesitar S . El perímetro es la suma de los cuatro lados. Así,

d = 5.365 – 1.286 – 1.932 – 1.147 = 1.

Entonces, S = (1.286 + 1.932 + 1.147 + 1) / 2 = 2.682.

El área es A = √ ((2.682 – 1.286) (2.682 – 1.932) (2.682 – 1.147) (2.682 – 1)) = √ (2.70) = 1.64.

Resumen de la lección

Una figura con cuatro lados es un cuadrilátero . Cuando un cuadrilátero se inscribe en un círculo, se llama cuadrilátero cíclico .

La fórmula de Brahmagupta se puede usar para encontrar el área de cuadriláteros cíclicos. Esta fórmula dice:

dónde

Durante la derivación, usamos:

• la ley de los cosenos , que relaciona los tres lados de cualquier triángulo
• el hecho de que los ángulos opuestos son suplementarios en un cuadrilátero cíclico

Rodrigo Ricardo Editor y fundador