Pendiente
Suponga que el verano está a la vuelta de la esquina y está llenando su piscina de agua. La cantidad de agua en la piscina está determinada por el tiempo que lleva funcionando la manguera. Esta relación se puede demostrar usando la ecuación y = 3.5 x , donde y es la cantidad de agua en la piscina en galones, yx es la cantidad de minutos que la manguera ha estado corriendo en la piscina. La gráfica, con algunos puntos etiquetados, de esta ecuación se muestra en la siguiente imagen.
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Vemos que la línea está aumentando a un ritmo constante. Esta tasa se llama pendiente de una línea y nos dice qué tan rápido sube o baja nuestra línea. En nuestro ejemplo, la pendiente representa la velocidad a la que se llena la piscina en galones por minuto.
La pendiente de una línea que pasa por el punto ( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 ) se puede encontrar usando la siguiente fórmula.
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Por ejemplo, en nuestro ejemplo, la línea que representa nuestra ecuación pasa por los puntos (2,7) y (4, 14). Podemos insertarlos en nuestra fórmula para encontrar la pendiente de nuestra línea.
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Líneas de Nazca: misterio y descripción general
Vemos que la pendiente de nuestra línea es 7/2, o 3,5, y esto nos dice que estamos llenando nuestra piscina a 3,5 galones por minuto. ¡Estaremos nadando en poco tiempo!
Pendientes de líneas paralelas
Las líneas paralelas son líneas que nunca se cruzan. En otras palabras, corren paralelos entre sí.
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¿Qué crees que significa esto sobre su pendiente? Recuerde, la pendiente nos dice qué tan empinada es nuestra línea. Si las líneas paralelas nunca se cruzan, tendría sentido que suban o bajen al mismo ritmo. Esto nos dice que deberían tener la misma pendiente.
Líneas de Fraunhofer: definición y tabla
Resulta que este es exactamente el caso. Las rectas paralelas tienen la misma pendiente. Podemos usar este hecho para demostrar que dos rectas son paralelas. Básicamente, todo lo que tenemos que hacer es mostrar que dos líneas tienen la misma pendiente, y esto probaría que las dos líneas son paralelas.
Por ejemplo, supongamos que quisiéramos demostrar que las dos líneas de nuestra imagen son paralelas. La primera línea pasa por el punto (1,4) y (8,2). La segunda línea pasa por los puntos (5,7) y (12,5). Para probar que estas dos rectas son paralelas, todo lo que tenemos que hacer es calcular su pendiente y verificar que esas pendientes sean las mismas.
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Vemos que tanto la línea 1 como la línea 2 tienen pendiente -2/7. Por tanto, las rectas son paralelas.
Pendientes de líneas perpendiculares
Las líneas perpendiculares son líneas que crean ángulos de 90 grados cuando se cruzan.
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Las pendientes de las líneas perpendiculares están relacionadas en el sentido de que son recíprocas negativas entre sí. El recíproco negativo de un número se puede encontrar intercambiando el numerador y el denominador del número y cambiando el signo de positivo a negativo o de negativo a positivo.
Por ejemplo, si una línea tiene pendiente 2/3, entonces para encontrar la pendiente de una línea que es perpendicular a esa línea, tomamos el recíproco negativo de 2/3. Intercambiamos el numerador y el denominador para obtener 3/2. Luego cambiamos el signo de positivo a negativo para obtener -3/2.
De la misma manera que podemos probar que dos líneas son paralelas al mostrar que sus pendientes son iguales, podemos probar que dos líneas son perpendiculares al mostrar que sus pendientes son recíprocas negativas entre sí.
Consideremos nuestras líneas perpendiculares que se muestran arriba. Una línea pasa por los puntos (2,3) y (10,8), y la otra línea pasa por los puntos (4,12) y (14, -4). Queremos demostrar que estas dos líneas son perpendiculares. Para hacer esto, calculamos sus pendientes y verificamos que sean recíprocos negativos entre sí. Primero, calculemos sus pendientes.
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Vemos que las pendientes de nuestras líneas son -8/5 y 5/8. Para verificar que estos son recíprocos negativos entre sí, simplemente tomamos una de las pendientes, digamos -8/5, y encontramos el recíproco negativo. Intercambiamos el numerador y el denominador para obtener -5/8, y luego cambiamos el signo de negativo a positivo para obtener 5/8. Vemos que -8/5 y 5/8 son, de hecho, recíprocos negativos entre sí, por lo que nuestras líneas son perpendiculares.
Resumen de la lección
La pendiente de una línea es una tasa de cambio. Nos dice qué tan rápido sube o baja una línea. Podemos calcular la pendiente usando la siguiente fórmula.
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Las líneas paralelas son líneas que nunca se cruzan. Las pendientes de las líneas paralelas son las mismas. Para probar que dos rectas son paralelas, hallamos su pendiente y verificamos que esas pendientes son iguales.
Las líneas perpendiculares son líneas que crean ángulos de 90 grados donde se cruzan. Las pendientes de las líneas perpendiculares son recíprocos negativos entre sí, donde el recíproco negativo de un número es ese número con el numerador y el denominador intercambiados y el signo del número cambiado de positivo a negativo o de negativo a positivo. Podemos probar que dos rectas son perpendiculares al encontrar sus pendientes y verificar que las pendientes son recíprocas negativas entre sí.
En ambos casos, vemos que para probar que dos rectas son paralelas o perpendiculares, simplemente encontramos las pendientes de las rectas y verificamos que satisfacen la relación de pendientes entre rectas paralelas o perpendiculares.
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