Aplicación de la regla de L’Hopital en casos simples

Revisión rápida de la regla de L’Hôpital

Utilice la regla de LHopitals para encontrar los límites de un rango de funciones

¿Te acuerdas de esos dos matemáticos discutiendo, L’Hôpital y Bernoulli? Bueno, echemos un vistazo mejor a la regla por la que se pelearon. La regla de L’Hôpital dice que cuando estamos tratando de encontrar el límite de algo, como f (x) / g (x) , y terminamos encontrando 0/0, o infinito / infinito, podemos encontrar el límite de f` (x) / g` (x) . Veamos algunos ejemplos.

El plan de tres pasos de L’Hôpital

Para hacer estos ejemplos, seguiremos el plan de tres pasos de L’Hôpital :

1. Verifique el límite de la parte superior e inferior.
2. Diferenciar la parte superior y la inferior.
3. Calcula el límite de esas derivadas que acabamos de encontrar.

Ejemplo 1

Por ejemplo, ¿cuál es el límite de (sin (2 x )) / x cuando x llega a cero? Entonces, paso uno, intentemos calcular esto sin hacer ninguna diferenciación. Bueno, sin (2 x ), cuando x llega a cero, es como sin (0), que es cero; x también será cero. Entonces, el límite, cuando x llega a cero, de (sin (2 x )) / x realmente es 0/0. Esto me dice de inmediato que necesito usar la regla de L’Hôpital. Paso dos, necesito diferenciar la parte superior e inferior de esta ecuación. Entonces d / dx de sin (2 x ) es 2cos (2 x ); d / dxde x es solo 1.

Paso tres, calcula el límite de las derivadas. Esto solo significa que voy a conectar mi derivada para la parte superior e inferior en la regla de L’Hôpital. Entonces, el límite, cuando x va a cero, de (sin (2 x )) / x es igual al límite, cuando x va a cero, de (2cos (2 x )) / 1. Cuando resuelvo esto, veo que 2cos (2 x ) va a ir a 2 cuando x va a cero porque cos (0) va a ir a 1, y lo estoy multiplicando por 2. El límite de 1 como x va a cero es solo 1. Mi límite es 2. Entonces, el límite, cuando x va a cero, de (sin (2 x )) / x es solo 2.

La solución por ejemplo # 1

Ejemplo # 2

Veamos un segundo ejemplo. ¿Qué pasa con el límite, cuando x llega a cero, de (sin ( x ) – x ) / x ? Plan de tres pasos: Primero, verifique el límite de la parte superior e inferior. Bien, entonces sin ( x ) – x ; ¿Cuál es el límite de eso cuando x llega a cero? Bueno, cuando x va a cero, sin ( x ) va a cero y x es obviamente cero. Entonces tengo cero en la parte superior. En la parte inferior, solo tengo x , y cuando x va a zerp, eso también va a cero. Entonces obtenemos 0/0. Es hora de utilizar la regla de L’Hôpital.

Segundo paso: diferenciar la parte superior de la inferior. Bueno, la derivada de (sin ( x ) – x ) es igual a la derivada de sin ( x ) – entonces cos ( x ) – menos la derivada de x , que es 1. Entonces la derivada de la parte superior es cos ( x ) – 1. La derivada de la parte inferior es la derivada de x , que es solo 1. Ahora voy a conectar esas derivadas a la regla de L’Hôpital. Entonces, el límite, cuando x va a cero, de (sin ( x ) – x ) / x es igual al límite, cuando x va a cero, de (cos ( x ) – 1) / 1. Bueno, como xva a cero, la parte superior aquí va a cero, porque cos ( x ) irá a 1, y 1 – 1 = 0. Y la parte inferior irá a 1. Entonces esto nos dice que el límite, cuando x va a cero, de (sin ( x ) – x ) / x es cero.

Ejemplo # 3

El resultado final en el tercer ejemplo

¿Qué tal un ejemplo ligeramente diferente: el límite, cuando x va a 3, de ( x ^ 2 – 9) / ( x – 3)? Bueno, si x = 3, la parte superior será igual a cero y la parte inferior será cero. Muy bien, entonces mi límite es 0/0. Nuevamente, usemos la regla de L’Hôpital. Así que diferenciemos la parte superior y la inferior. La parte superior es x ^ 2 – 9. La derivada de eso es solo 2 x – 0, o 2 x . La parte inferior es x – 3, y la derivada de eso es solo 1. Sustituyamos todo eso. El límite, cuando x va a 3, de ( x ^ 2 – 9) / ( x – 3) es igual al límite , como xva a 3, de la derivada de la parte superior, 2 x , dividida por la derivada de la parte inferior, 1. Así que ese es el límite, cuando x va a 3, de 2 x . Bueno, eso es fácil. Podemos usar la sustitución y sustituir este 3 por x y obtener que el límite, cuando x va a 3, de ( x ^ 2 – 9) / ( x – 3) es 6.

Ejemplo # 4

Ahora nos sentimos bastante bien. Pero, ¿qué pasa con un caso en el que x va al infinito, como el límite, cuando x va al infinito, de (1 – 9 x ) / (14 + 3 x )? Cuando x va al infinito, la parte superior va hacia el infinito negativo y la parte inferior hacia el infinito positivo. Bueno, tengo un infinito sobre un infinito aquí. Eso me dice que debería usar la regla de L’Hôpital. Entonces, la derivada de la parte superior es -9 y la derivada de la parte inferior es 3. Entonces, el límite, cuando x va al infinito, de (1 – 9 x ) / (14 + 3 x ) es igual al límite, como x va al infinito, de -9/3, que es solo -3.

¡Eso es fantástico! Y no se detiene ahí. Puede ver ejemplos aún más complejos, como el límite, cuando x llega a cero, de 2cos ( x ) menos la raíz cuadrada de ( x + 4) todo sobre cero. Siempre que el límite sea 0/0 o infinito / infinito, puede utilizar la regla de L’Hôpital. ¡Y la parte más difícil de la regla de L’Hôpital es la diferenciación!

La solución por ejemplo # 4

Resumen de la lección

Recapitulemos. La regla de L’Hôpital dice que el límite, cuando x va a C , de f (x) / g (x) es igual al límite, cuando x va a C , de f` (x) / g` (x) , siempre que ya que su límite original iba a 0/0 o infinito / infinito.

Para resolver este tipo de problemas, utilizamos el Plan de tres pasos de L’Hôpital . Primero verificamos el límite de la parte superior e inferior para asegurarnos de que tenemos un caso en el que realmente es 0/0 o infinito / infinito. Luego, diferenciamos la parte superior e inferior. Luego, conectamos nuestras derivadas y calculamos el límite.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador