Cualquier polígono regular
Una de las partes más útiles de la geometría es la capacidad de resolver el área de una forma, especialmente una forma regular. Sin embargo, mientras que las fórmulas para resolver el área de un cuadrado o un paralelogramo no son tan malas, ¿has visto la que resuelve el área de un hexágono? En caso de que tenga curiosidad, es tres veces la raíz cuadrada de 3, dividida por 2, multiplicada por la longitud de un lado al cuadrado. Ahora no sé ustedes, pero eso es más de lo que realmente me gustaría recordar. ¿No sería bueno si hubiera una forma mucho más fácil de hacer esto?
Afortunadamente, lo hay. Siempre que tomes el área de un polígono regular, lo que significa que todos los ángulos internos son congruentes, puedes usar la trigonometría para resolver el área. Créame, no es tan aterrador como parece. De hecho, en esta lección lo usaremos para resolver el área de un dodecágono regular, una figura de 12 lados, que tiene una longitud de lado de 8.
Una nota sobre los círculos
En primer lugar, recuerde que todos esos ángulos internos no son también iguales, ¡pero también lo son los ángulos externos! De hecho, también todos suman 360 grados. Puede confiar en mi palabra, recordando que cada ángulo en un cuadrado es 90, y cuatro 90 hacen 360. O puede ser un poco más aventurero y dibujar un círculo alrededor del cuadrado o el dodecágono. Verá que su lápiz gira la misma cantidad de grados, exactamente 360 grados. Eso va a ser muy importante para nosotros cuando comencemos a encontrar los ángulos interiores de nuestro dodecágono. ¿Ya lo has dibujado? Perfecto. Vamonos.
Encontrar ángulos
Muy bien, aquí es donde las cosas pueden complicarse un poco. ¿Recuerdas cómo dije que cada uno de esos ángulos era igual a los demás? Como tenemos 12 lados, eso significa que tenemos doce ángulos de 30 grados cada uno. Sin embargo, los ángulos no están donde se puede esperar que estén al principio. Si lo desea, siga adelante y dibuje líneas rectas desde cada ángulo hasta el centro del dodecágono. Ahora terminamos con doce triángulos, cada uno de los cuales tiene un ‘pequeño’ ángulo de 30 grados. Son estos ángulos los que deben sumar 360.
Pero espere, los ángulos interiores de un triángulo no suman 360 grados, solo suman 180 grados. ¡Tienes toda la razón! Por lo tanto, cada uno de esos triángulos tiene 3 ángulos, uno de los cuales es de 30 grados, y los otros dos tienen cada uno 150 divididos por dos, o 75 grados. Por cierto, obtuvimos 150 grados al restar 30 de 180. Entonces, ahora tenemos 12 triángulos con un lado corto de 8 y ángulos de 30, 75 y 75 grados.
Área Superficial y Volumen de un Tubo: Ecuación y Cálculo
Usando Trig
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La trigonometría que conoces en este punto es inútil en triángulos que no son triángulos rectángulos, y el teorema de Pitágoras solo funciona cuando conoces al menos dos lados. Sin embargo, no todo está perdido. Debido a que cada uno de esos triángulos es congruente y los lados son todos iguales, podemos dividir 12 triángulos en 24 triángulos, ¡cada uno de los cuales tiene un ángulo recto! Ahora que hemos dividido el triángulo, tenemos nuevos ángulos. El ángulo superior es de 15 grados, ya que es la mitad de 30. El ángulo más grande de cada triángulo es un ángulo recto, por lo que son 90 grados. Finalmente, cada triángulo conserva un ángulo de 75 grados.
Ahora, recordando que cada lado del dodecágono era 8, podemos hacer algunos cálculos rápidos para que nuestra trigonometría sea útil. Primero, y esto es importante, recuerde que debido a que divide los triángulos por la mitad, también debe dividir la base por la mitad. Por lo tanto, ¡las nuevas bases son las 4!
Resolviendo el área
Muy bien, casi terminamos. ¡Cuelga ahí! Ahora, una rápida trigonometría. Tenemos todos los ángulos y tenemos la base, pero ahora necesitamos la altura. La altura es la línea que va desde el borde del círculo hasta el centro por la ruta más corta posible. Para encontrar esto, solo necesitamos insertar algunos números en nuestra fórmula de tangente. ¿Por qué tangente? Porque tenemos la línea adyacente y necesitamos la línea opuesta. Por lo tanto, la tangente de 75 grados es igual al opuesto dividido por el adyacente. Sabemos que el opuesto es 4, así que conéctelo, lo que nos da tan 75 = a / 4. Además, sabemos que la tangente de 75 grados es aproximadamente 3.73, así que multiplicamos eso por 4 para obtener el valor de a, que es 14,92. Ahora, multiplique eso por cuatro y divídalo por dos para obtener el área de cada triángulo, que es 29,84. Ahora, como tienes 24 triángulos, tienes que multiplicar 29,84 por 24, lo que te da 716,16 unidades al cuadrado como área.
Resumen de la lección
¡Uf! De acuerdo, en esta lección, aprendimos cómo usar la trigonometría para encontrar el área de cualquier polígono regular. Recuerda que los polígonos regulares tienen ángulos interiores que son congruentes. Para hacer esto, dividimos el polígono en triángulos rectángulos y luego usamos trigonometría para resolver el lado opuesto. A partir de ahí, era simplemente una cuestión de resolver el área de cada triángulo y multiplicarlo por el número de triángulos.
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