Definición de una bisectriz perpendicular
¿Cómo puede un arqueólogo determinar el tamaño de un plato si solo se ha encontrado una pieza? ¿Cómo puede un paisajista determinar la ubicación de los rociadores para el uso más eficaz del agua? Resulta que una sola línea, llamada bisectriz perpendicular, puede ser muy útil en ambos problemas.
La bisectriz perpendicular del segmento de línea AB es una línea que hace dos cosas:
- Corta el segmento de línea AB en dos partes iguales o lo biseca
- Forma un ángulo recto con el segmento de línea AB (es perpendicular)
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Una propiedad importante es que todos los puntos de la bisectriz perpendicular están a la misma distancia del punto A que del punto B.
Crear una bisectriz perpendicular
Aunque puede crear fácilmente una bisectriz perpendicular utilizando un software de geometría, para hacerlo en papel, todo lo que necesita es una regla y un compás. Primero, dibuja tu segmento de línea, AB. Luego usa tu brújula para crear un círculo que tenga el punto A como centro y pase por el punto B. Después de dibujar este círculo, dibuja un segundo círculo que tenga el punto B en su centro y pase por el punto A. Los dos círculos se cruzarán en dos ubicaciones, como se muestra en la imagen. Una línea trazada a través de los dos puntos de intersección es la bisectriz perpendicular del segmento de línea.
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Aplicaciones matemáticas
La mayoría de las aplicaciones de la bisectriz perpendicular se encuentran en teoremas, demostraciones y construcciones de geometría. Por ejemplo, puede usar una bisectriz perpendicular para construir un triángulo que tenga dos lados de igual longitud , conocido como triángulo isósceles. Si construye la bisectriz perpendicular del segmento de línea AB, cada punto de la bisectriz perpendicular estará a la misma distancia tanto del punto A como del punto B. Para construir su triángulo isósceles, puede comenzar desde cualquier punto de la bisectriz perpendicular y dibujar la línea segmentos al punto A y al punto B. Los dos segmentos de recta que acaba de dibujar están garantizadostener la misma longitud! Además, el hecho de que una línea dada sea una bisectriz perpendicular de un lado de un triángulo y pase por el vértice opuesto, es una prueba de que el triángulo es isósceles.
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También puedes usar la bisectriz perpendicular para encontrar el circuncentro de un triángulo . Este punto es el centro de un círculo que pasa por las tres esquinas o vértices de un triángulo. Para encontrar este punto, construirá tres bisectrices perpendiculares, una para cada lado del triángulo. El punto donde las tres bisectrices perpendiculares se cruzan se llama circuncentro. Usando este punto central, podemos dibujar un círculo que pasa por los tres vértices.
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Las bisectrices perpendiculares también son útiles para encontrar el centro de un círculo . Si se nos dan tres puntos en el círculo, el punto A, el punto B y el punto C, entonces podemos dibujar dos segmentos de línea, AB y AC. Las bisectrices perpendiculares de estos dos segmentos de línea siempre se intersecarán en el centro del círculo.
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Ejemplos del mundo real
Instalación de un sistema de rociadores
Si un paisajista está instalando un sistema de rociadores, quiere regar el césped, pero no el asfalto o la grava circundante. En el caso de lotes triangulares, encontrar el circuncentro puede ayudar al paisajista a decidir si un solo aspersor será una opción eficaz. En algunos casos, un solo aspersor puede regar todo el lote y no desperdiciará agua fuera del lote. En otros casos, un solo aspersor en el centro del círculo regará todo el lote, pero se desperdiciará mucha agua fuera del lote. El paisajista y el cliente trabajarán juntos para determinar la mejor solución.
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Pero, si el lote tiene la forma de un triángulo equilátero con tres lados iguales, el lote se puede regar con un solo aspersor con un desperdicio mínimo de agua. La siguiente imagen muestra cómo se puede usar un aspersor para regar mucho en forma de triángulo equilátero y con menos agua desperdiciada.
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¿Qué tan grande es el plato?
Cuando los arqueólogos encuentran piezas de cerámica en un sitio de excavación, la bisectriz perpendicular puede ayudarlos a reconstruir el aspecto que podrían haber tenido las placas originales. Si un arqueólogo encuentra múltiples piezas de lo que parece ser el exterior de una sola placa, puede usar el método descrito para encontrar el diámetro de la placa utilizando el borde exterior. Si repiten este proceso para todas las piezas, el arqueólogo puede determinar si todas las piezas encajan para formar una sola placa, o si realmente provienen de múltiples placas.
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Resumen de la lección
La bisectriz perpendicular es una línea que divide un segmento de línea en dos partes iguales. También forma un ángulo recto con el segmento de línea. Cada punto de la bisectriz perpendicular está a la misma distancia de cada uno de los puntos finales del segmento de línea original. Estas propiedades hacen que la bisectriz perpendicular sea útil para dibujar triángulos isósceles, para encontrar el centro de un círculo y para encontrar el centro de un círculo que contiene los tres vértices de un triángulo dado, llamado circuncentro de un triángulo.
Propiedades de una bisectriz perpendicular
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| Bisectriz perpendicular |
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| * Divide un segmento de línea en dos partes iguales * Forma un ángulo de 90 grados con el segmento de línea * Cada punto en la bisectriz perpendicular está a la misma distancia de cada punto final del segmento de línea |
Los resultados del aprendizaje
Cuando haya terminado, debería poder:
- Explica qué es una bisectriz perpendicular
- Analizar cómo encontrar la bisectriz perpendicular de un segmento de recta
- Enumere algunas aplicaciones del mundo real para bisectrices perpendiculares
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