Cómo calcular la probabilidad de combinaciones

Publicado el 22 septiembre, 2020

Combinaciones

Nota: Las fórmulas de esta lección asumen que no tenemos reemplazo, lo que significa que los elementos no se pueden repetir.

Las combinaciones son una forma de calcular los resultados totales de un evento donde el orden de los resultados no importa. Para calcular combinaciones, usaremos la fórmula n C r = n ! / r ! * ( nr ) !, donde n representa el número total de elementos y r representa el número de elementos que se eligen a la vez.

Para calcular una combinación, necesitará calcular un factorial. Un factorial es el producto de todos los enteros positivos iguales y menores que tu número. Un factorial se escribe como el número seguido de un signo de exclamación. Por ejemplo, para escribir el factorial de 4, escribirías 4 !. Para calcular el factorial de 4, deberías multiplicar todos los enteros positivos iguales ay menores que 4. Entonces, ¡4! = 4 * 3 * 2 * 1. Al multiplicar estos números, podemos encontrar que 4! = 24.

Veamos otro ejemplo de cómo escribiríamos y resolveríamos el factorial de 9. ¡El factorial de 9 se escribiría como 9 !. Para calcular 9 !, multiplicaríamos 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1, y eso equivale a 362,880.

Fórmula de combinaciones

Si observa la ecuación para calcular combinaciones, puede ver que se utilizan factoriales en toda la fórmula. Recuerde, la fórmula para calcular combinaciones es n C r = n ! / r ! * ( nr ) !, donde n representa el número de elementos y r representa el número de elementos que se eligen a la vez. Veamos un ejemplo de cómo calcular una combinación.

Hay diez películas nuevas para alquilar esta semana en DVD. John quiere seleccionar tres películas para ver este fin de semana. ¿Cuántas combinaciones de películas puede seleccionar?

En este problema, John elige tres películas de los diez nuevos estrenos. 10 representaría la variable n y 3 representaría la variable r . Entonces, ¡nuestra ecuación se vería como 10C3 = 10! / 3! * (10 – 3) !.

El primer paso que debe hacerse es restar 10 menos 3 en la parte inferior de esta ecuación. 10 – 3 = 7, ¡entonces nuestra ecuación parece 10! / 3! * 7 !.

A continuación, necesitamos expandir cada uno de nuestros factoriales. 10! equivaldría a 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 en la parte superior, y 3! * 7! sería 3 * 2 * 1 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1. La forma más fácil de solucionar este problema es cancelar los términos semejantes. Podemos ver que hay un 7, 6, 5, 4, 3, 2 y 1 tanto en la parte superior como en la inferior de nuestra ecuación. Estos términos se pueden cancelar. Ahora vemos que a nuestra ecuación le quedan 10 * 9 * 8 arriba y 3 * 2 * 1 abajo. A partir de aquí, podemos simplemente multiplicar. 10 * 9 * 8 = 720 y 3 * 2 * 1 = 6. Entonces, nuestra ecuación ahora es 720/6.

Para terminar con este problema, dividiremos 720 entre 6 y obtendremos 120. John ahora sabe que podría seleccionar 120 combinaciones diferentes de películas de estreno esta semana.

Probabilidad

Para calcular la probabilidad de que ocurra un evento, usaremos la fórmula: número de resultados favorables / número de resultados totales.

Veamos un ejemplo de cómo calcular la probabilidad de que ocurra un evento. En la caja de la tienda de DVD, John también compró una bolsa de chicles. En la bolsa de chicles, había cinco chicles rojos, tres verdes, cuatro blancos y ocho amarillos. ¿Cuál es la probabilidad de que John, dibujando al azar, seleccione un chicle amarillo?

John sabe que si suma todos los chicles juntos, hay 20 chicles en la bolsa. Entonces, el número total de resultados es 20. John también sabe que hay ocho bolas de chicle amarillas, lo que representaría el número de resultados favorables. Entonces, la probabilidad de seleccionar un chicle amarillo al azar de la bolsa es de 8 sobre 20.

Sin embargo, todas las fracciones deben simplificarse. Entonces, tanto 8 como 20 se dividirán por 4. Entonces, 8/20 se reduciría a 2/5. John sabe que la probabilidad de que elija un chicle amarillo de la bolsa al azar es 2/5.

Probabilidad de combinaciones

Para calcular el número total de resultados y resultados favorables, es posible que deba calcular una combinación. Recuerde, una combinación es una forma de calcular eventos donde el orden no importa.

Veamos un ejemplo. Para disfrutar de sus películas, John decide pedir una pizza. Al mirar el menú, John ve que Pizza King ofrece ocho aderezos diferentes (cuatro carnes y cuatro verduras). Las coberturas son: pepperoni, jamón, tocino, salchicha, pimientos, champiñones, cebollas y aceitunas. John tiene un cupón para una pizza de 3 ingredientes. Al elegir los ingredientes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que John elija una pizza solo con carne?

John está buscando la probabilidad de seleccionar una pizza solo de carne. Para hacerlo, deberá calcular el número total de resultados favorables sobre el total de resultados posibles. Primero calculemos el número total de resultados. Para calcular los resultados totales, usaremos la fórmula para combinaciones porque el orden de los ingredientes de la pizza no importa. La fórmula para las combinaciones es n C r = n ! / r ! * ( nr ) !, donde n representa el número de elementos y r representa el número de elementos que se eligen a la vez.

John está seleccionando tres ingredientes de los ocho que ofrece Pizza King. 8 representaría nuestro n término y 3 representaría nuestro r término. Entonces, ¡nuestra ecuación se verá como 8C3 = 8! / 3! * (8 – 3) !.

Para resolver esta ecuación, necesitamos restar 8 – 3 = 5. ¡Entonces, nuestra ecuación ahora parece 8! / 3! * 5 !. A continuación, necesitamos expandir cada uno de estos factoriales. 8! equivaldría a 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1, dividido por 3! * 5 !, que equivaldría a 3 * 2 * 1 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1.

Recuerde, para facilitar este problema, podemos cancelar los términos semejantes en la parte superior e inferior de esta ecuación. Podemos ver que hay un 5, 4, 3, 2 y 1 tanto en la parte superior como en la inferior. Estos términos se pueden cancelar. Al multiplicar 8 * 7 * 6 en la parte superior, es igual a 336. En la parte inferior, 3 * 2 * 1, que es igual a 6. Después de dividir 336 entre 6, podemos ver que el número total de pizzas que John puede pedir es 56 .

John ahora debe encontrar el número de resultados favorables. John quería saber la probabilidad de seleccionar una pizza solo con carne. Mirando el menú, podemos ver que hay cuatro tipos de carne para elegir, y John solo está seleccionando tres.

Este es otro ejemplo de un problema de combinación porque no importa el orden en que se seleccionen las coberturas de carne. Para calcular el número de resultados favorables, necesitamos usar la fórmula de combinación n C r = n ! / r ! * ( nr ) !, donde n representa el número de elementos y r representa el número de elementos que se eligen a la vez.

Como hay cuatro carnes y John elige tres, el término n sería 4 y el término r sería 3. ¡Nuestra ecuación se vería así 4C3 = 4! / 3! * (4 – 3) !. Luego, necesitamos restar el 4 – 3 en la parte inferior, lo que es igual a 1. ¡Entonces, nuestra ecuación ahora se ve como 4! / 3! * 1 !.

A continuación, expandamos tanto la parte superior como la inferior de nuestra ecuación ahora para buscar términos comunes que podamos cancelar. Al expandir la parte superior, obtenemos 4 * 3 * 2 * 1, y la parte inferior sería 3 * 2 * 1 * 1. Podemos ver que tanto en la parte superior como en la inferior, hay un 3 * 2 * 1, que puede ser cancelado.

John ahora puede ver que solo hay cuatro combinaciones de pizzas de 3 ingredientes que solo contienen carnes. Para calcular la probabilidad, John necesitará usar el número de resultados favorables, que fue 4, sobre el número de resultados totales, que fue 56. La probabilidad sería 4/56, que puede reducirse a 1/14. Entonces, la probabilidad de que John seleccione una pizza de 3 ingredientes que contenga solo carne es 1/14.

Resumen de la lección

Recuerde que las combinaciones son una forma de calcular los resultados totales de un evento donde el orden de los resultados no importa. Para calcular combinaciones, usaremos la fórmula n C r = n ! / r ! * ( nr ) !, donde n representa el número de elementos y r representa el número de elementos que se eligen a la vez.

Para encontrar la probabilidad de un evento, es posible que deba encontrar las combinaciones. Para calcular la probabilidad de que ocurra un evento, utilizará la fórmula del número de resultados favorables sobre el número de resultados totales.

Los resultados del aprendizaje

Una vez que haya terminado con esta lección, podrá:

  • Identificar las fórmulas para calcular combinaciones y probabilidades.
  • Calcular factoriales
  • Resolver problemas de probabilidad que también contienen combinaciones.

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