Probabilidad
Una probabilidad es la probabilidad de que ocurra un evento. Al calcular la probabilidad de un evento, use la fórmula del número de resultados favorables sobre el número de resultados totales. Podemos calcular la probabilidad de que ocurra cualquier evento examinando las opciones disponibles. Veamos un ejemplo para ver qué tan simple es encontrar la probabilidad.
Jimmy compró una bolsa llena de chicles en la tienda. En la bolsa había 20 bolas de chicle rojas, 15 azules y 12 amarillas. Si Jimmy mete la mano en la bolsa y selecciona un chicle al azar, ¿cuál es la probabilidad de que seleccione un chicle rojo?
Lo primero que sabe Jimmy es que si suma el número de bolas de chicle azul, rojo y amarillo juntas, tiene un total de 47 bolas de chicle en la bolsa. Jimmy sabe que para calcular la probabilidad de seleccionar un chicle rojo, debe usar la ecuación del número de resultados favorables sobre el número de resultados totales .
Como hubo 20 bolas de chicle rojas, la cantidad de resultados favorables es 20. Además, hubo 47 bolas de chicle en total, por lo que la cantidad de resultados totales es 47. Podemos ver que la probabilidad de que Jimmy seleccione una bola de chicle roja de la bolsa es 20 / 47.
Para terminar de calcular la probabilidad, siempre debemos verificar y ver que nuestra fracción está en su forma más simple. Afortunadamente para Jimmy, su fracción está en su forma más simple. Entonces, la probabilidad de que Jimmy saque una bola de chicle roja de la bolsa al azar es 20/47.
¿Qué es la distribución de probabilidad discreta? Ecuaciones y ejemplos
Permutaciones
Para calcular el número total de resultados, ocasionalmente debe usar una permutación . Una permutación es un método para calcular el número de eventos que ocurren donde el orden importa. Para calcular una permutación, deberá usar la fórmula n P r = n ! / ( n – r ) !. En esta ecuación, n representa el número de elementos para elegir y r representa cuántos elementos se eligen.
Otra función de esta ecuación es el uso de! (punto de exclamación). Este símbolo significa ‘factorial’. Un factorial es el producto de todos los números enteros positivos iguales y menores que su número. Un factorial se escribe como el número seguido de un signo de exclamación. Por ejemplo, para escribir el factorial de 5, escribirías 5 !. Para calcular el factorial de 5, deberías multiplicar los enteros positivos iguales ay menores que 5. ¡5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1. Al multiplicar estos números, podemos encontrar que 5! = 120. Veamos otro ejemplo: ¿cómo escribiríamos y resolveríamos el factorial de 10? El factorial de 10 se escribiría como 10 !. Para calcular: ¡10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3,628,800.
Veamos un ejemplo en el que debemos calcular la permutación. En la Universidad de Rockland, es hora de la elección del gobierno estudiantil. Hay 20 estudiantes que han presentado la documentación necesaria para aparecer en la boleta. ¿De cuántas formas diferentes puede el alumnado seleccionar un presidente, un vicepresidente, un secretario y un tesorero?
En primer lugar, este ejemplo es una permutación porque el orden en el que se seleccionan los estudiantes para los puestos es importante. Sabemos que hay 20 estudiantes que han sido elegidos para postularse para un cargo; esto representará la variable n en nuestra ecuación. También sabemos que el gobierno estudiantil consta de solo 4 puestos, que es nuestro término r . Entonces, en esta permutación, tenemos 20 elementos para elegir para las 4 posiciones. ¡La ecuación para nuestra permutación sería 20P4 = 20! / (20 – 4) !.
Para comenzar a resolver esta permutación, necesitamos restar el denominador. (20 – 4)! = 16! A continuación, expandamos cada factorial. Mientras trabajamos en esta ecuación, vamos a cancelar términos comunes tanto en el numerador como en el denominador. Podemos ver que hay un 16, 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 y 1 tanto en la parte superior como en la inferior. Estos términos se pueden cancelar, dejando 20 x 19 x 18 x 17 en la parte superior y nada en la parte inferior, lo que se convierte en un 1 entendido.
¿Qué es la probabilidad condicional? Definición, ecuación y ejemplos
Para resolver esta ecuación, ahora multiplicaremos la parte superior e inferior de nuestra fracción. 20 x 19 x 18 x 17 = 116,280. El denominador tiene un término de 1, por lo que nuestra fracción es 116,280 / 1. Ahora podemos ver que hay 116,280 formas en que el gobierno estudiantil puede ser seleccionado entre esos 20 estudiantes.
Calcular la probabilidad de permutaciones
Al calcular la probabilidad de una permutación, combinaremos estas dos habilidades. El uso de permutaciones nos dará el número total de resultados y luego tendremos que calcular el número total de resultados favorables. Veamos un ejemplo para ver cómo se pueden combinar estas dos habilidades.
Jim recibió un nuevo teléfono inteligente con un código de acceso de 5 dígitos. El código de acceso puede contener cualquier número de un solo dígito (0-9), pero cada número no se puede repetir. Desafortunadamente, Jim ha olvidado su contraseña y debe intentar adivinar el número. ¿Cuál es la probabilidad de que Jim adivine la contraseña correcta de 5 dígitos?
Este problema implicará dos procesos: en primer lugar, el uso de permutaciones para calcular la cantidad de códigos de acceso que Jim podría elegir y, en segundo lugar, las probabilidades para calcular las posibilidades de que Jim seleccione el código de acceso correcto. Primero, necesitamos calcular la permutación de los resultados totales de Jim. Hay 10 elementos y se están eligiendo 5 de ellos. Esta permutación se vería como 10P5 cuando se escribe en forma de notación. A continuación, necesitaremos introducir nuestros valores en la fórmula para una permutación. Recuerde, la ecuación para calcular una permutación es n P r = n ! / ( n – r ) !.
Conectemos nuestros valores. Para todas las n variables reemplazaremos un 10 y para las r variables un 5. ¡Nuestra ecuación ahora se ve como 10P5 = 10! / (10 – 5) !. Para trabajar esta ecuación, necesitamos restar en la parte inferior: (10 – 5) = 5 !. ¡Ahora tenemos 10! / 5 !. A continuación, ampliemos nuestros factoriales. ¡Encima, 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1, y en la parte inferior, ¡5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1.
Cómo calcular el error estándar: Ecuación y ejemplo
A medida que continuamos trabajando en esta ecuación, cancelaremos términos comunes tanto en el numerador como en el denominador. Dado que hay 5 x 4 x 3 x 2 x 1 tanto en la parte superior como en la inferior, podemos cancelar estos términos. A medida que estos términos se cancelan, desaparecen. Nuestra ecuación ahora se ve como 10 x 9 x 8 x 7 x 6/1. A medida que multiplicamos, 10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30,240. Esto significa que hay 30,240 resultados diferentes para códigos de acceso que Jim podría usar.
Para calcular la probabilidad de que Jim seleccione el código de acceso correcto, usaremos la ecuación número total de resultados favorables sobre el número total de resultados . Dado que solo hay un código de acceso posible que desbloqueará el teléfono, el número de resultados favorables es 1. Después de calcular la permutación de eventos, sabemos que hay 30.240 resultados en total. Entonces, la probabilidad de que Jim seleccione la contraseña correcta es 1 / 30,240.
Resumen de la lección
En este video, hemos visto varios ejemplos en los que calculamos la probabilidad de una permutación. Para encontrar la probabilidad de que ocurra un evento, usaremos la ecuación número de resultados favorables sobre el número de resultados totales .
Al calcular el número total de resultados, a veces necesitamos usar una permutación. Una permutación es un método para calcular el número de eventos que ocurren donde el orden importa. Para calcular una permutación, necesitaremos usar la fórmula n P r = n ! / ( n – r ) !. En esta ecuación, n representa el número de elementos para elegir y r representa cuántos elementos se eligen.
Una vez que haya encontrado la permutación, la ingresará como el número total de resultados. Recuerde que después de encontrar la probabilidad de que todas las probabilidades deban estar en su forma más simple.
Resultado de aprendizaje
Después de ver la lección, debería poder:
- Definir que son las permutaciones
- Resolver para probabilidad
- Calcular un problema de probabilidad usando permutaciones
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