Cómo dividir números complejos

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Números complejos

Los números complejos son una combinación de un número real con uno imaginario. Por eso, podemos expresarlos generalmente como a + bi , donde a es la parte real del número y b es la parte imaginaria. Siempre que recuerde que i ^ 2 = -1, entonces sumarlos, restarlos y multiplicarlos es solo una revisión de la combinación de términos semejantes y la multiplicación de binomios con FOIL. Pero cuando se trata de dividir números complejos, es necesario aprender algunas habilidades nuevas.

Conjugados complejos


Multiplicar dos conjugados complejos da como resultado un número real
Multiplicar conjugados complejos

Junto con estas nuevas habilidades, necesitará recordar qué es un conjugado complejo. Si no ha oído hablar de esto antes, no se preocupe; es bastante sencillo. Un conjugado es un binomio en el que se ha cambiado el signo del segundo término. Entonces, el complejo conjugado a a + bi es solo abi , y viceversa. Aquí hay algunos ejemplos de conjugados complejos: 2 + 3 i y 2 – 3 i , o -3 – i y -3 + i o 4 – 5 i y 4 + 5 i . Solo recuerde que el signo del primer término permanece igual, pero el signo del segundo cambia.

Multiplicar conjugados

Los conjugados son especiales porque hay un patrón para multiplicarlos. Demostremos esto con dos de nuestros ejemplos de arriba: 2 + 3 i y 2 – 3 i . Multiplicar estos dos números complejos con FOIL nos dará 4 – 6 i + 6 i – 9 i ^ 2. Pero luego, cuando combinamos términos semejantes, los dos grupos de i en el medio se cancelarán. Sustituyendo -1 por i ^ 2, y luego haciendo 4 + 9 obtenemos nuestra respuesta como 13, ¡un número real!

Multiplicar dos conjugados hará que estos términos intermedios se cancelen. Lo que significa que multiplicar dos conjugados complejos siempre hará que las i se cancelen, dejándonos con un número real cada vez: ( a + bi ) ( abi ) = a ^ 2 + b ^ 2. Bien, entonces, ¿por qué menciono esto? Bueno, dividir números complejos aprovechará este truco.

División de números complejos


Multiplicar por el conjugado en este problema es como multiplicar por 1
Multiplicar por conjugado

Realmente no hay una buena manera de averiguar cuántos de estos números complejos encajan en ese, así que en su lugar hacemos un movimiento elegante con la mano (usando el conjugado) para hacer la parte imaginaria del número complejo que dividimos por go. lejos. Entonces es solo dividir por un número real, algo que sabemos cómo hacer.

Vaya, son muchas palabras; déjame mostrarte lo que quiero decir. Tomemos el ejemplo (3 + 4 i ) / (2 + i ). Como dije antes, no tengo idea de cuántos 2 + i caben en 3 + 4 i , por lo que escribir el problema de esta manera no nos da mucho. En cambio, cambiarlo a una fracción nos permitirá comenzar a usar nuestros elegantes trucos matemáticos. Si ahora recordamos lo que acabamos de aprender sobre el conjugado complejo, podemos cambiar esto de dividir por un número complejo (algo que no sabemos cómo hacer) a dividir por un número real (algo que sí sabemos hacer). Entonces queremos multiplicar el denominador por su conjugado, 2 – i(eso lo convertiría en un número real), pero no podemos hacer lo que queramos. Tenemos que dejar el problema igual. Multiplicar por algún número aleatorio lo cambiará, pero multiplicar por 1 en realidad no lo cambiará en absoluto.

Debido a esto, nuestro próximo paso para este problema será multiplicar nuestra fracción por (2 – i ) / (2 – i ). Esto es como multiplicar una fracción por 4/4 para obtener un denominador común , solo que con números más ‘complejos’, ¿eh? ¿Consíguelo? Perdón por la broma nerd. De todos modos, estamos multiplicando por (2 – i ) / (2 – i ). Esto significa que tenemos que ALUMINAR la parte superior e inferior. Esto significa multiplicar los términos primero, exterior, interior y último, sustituir i ^ 2 por -1 , y combinar términos semejantes nos deja con esto: (10 + 5 i) / 5. Dado que esta respuesta tiene números reales e imaginarios, nos gustaría dividirla y escribirla en la forma compleja estándar. Esto significa dividir nuestra respuesta en 10/5 + 5 i / 5. Si bien este no siempre será el caso, es cierto que esta vez podemos llevar nuestra respuesta un paso más allá y simplificar ambas fracciones también. 10/5 es 2 y 5/5 es 1, por lo que nuestra solución final es 2 + i .

Repasemos otro ejemplo solo para ver un problema que podría no tener números que funcionen tan bien. Resaltaré el proceso para brindarle una revisión de la secuencia, pero omitiré las operaciones específicas para ahorrarle algo de tiempo. Si te pierdes, pausa el video y revisa mis matemáticas, o quizás mira un video anterior para repasar tus habilidades. Muy bien, hagámoslo: (4 – i ) / (2 – 3 i ).


En este punto, los términos similares deben combinarse para acercarse a la solución final.
Problema de división de números complejos

La primera parte de este problema es que queremos sacar la parte imaginaria del número complejo del denominador. Para hacer eso, necesitaremos multiplicarlo por el conjugado complejo. Eso significa tomar 2 – 3 i y cambiarlo a 2 + 3 i . Pero como no podemos cambiar cuál es la fracción, necesitamos multiplicar el numerador y el denominador por lo mismo, (2 + 3 i ) / (2 + 3 i ). Ésta es la idea conceptual principal de todo este problema. Ahora multiplicamos los dos números complejos en el numerador, (4 – i ) y (2 + 3 i ) con FOIL; multiplicamos los dos números en el denominador con FOIL, (2-3 i ) * (2 + 3 i ), y obtenemos esto: (8 + 12 i– 2 yo – 3 yo ^ 2) / (4 + 6 yo – 6 yo – 9 yo ^ 2). La combinación de términos semejantes nos llevará aquí: (8 + 10 i – 3 i ^ 2) / 4 – 9 i ^ 2). Luego, sustituyendo -1 por i ^ 2 nos lleva a esto: (8 + 10 i – 3 (-1)) / (4-9 (-1)). La combinación de términos semejantes una vez más nos lleva a esto: (11 + 10 i ) / 13. Y luego, debido a que hay términos reales e imaginarios en nuestra respuesta, dividimos la fracción en dos nuevos para ponerla en forma compleja general. Esto nos deja con 11/13 + (10/13) iy hemos terminado porque las fracciones son tan simples como pueden ser. Si bien hay muchos trucos matemáticos sofisticados en este tipo de problemas, es de esperar que esté comenzando a familiarizarse con ellos y pueda manejar las preguntas del cuestionario después de esta lección.

Resumen de la lección

Revisemos. Los conjugados son dos binomios con todo igual excepto el signo del segundo término. Esto hace que el complejo conjugado de a + bi , abi . Aprovechamos estos conjugados cuando dividimos números complejos. Para hacer esto, terminamos teniendo que multiplicar la parte superior e inferior de la fracción por el complejo conjugado del denominador. Esto termina cambiando el denominador en un número real, lo que luego nos permite dividir la fracción en un solo número complejo para nuestra respuesta.

Objetivos de la lección

Una vez que complete esta lección, podrá:

  • Definir que son los conjugados
  • Dividir números complejos usando conjugados