Cómo encontrar el máximo común divisor de expresiones

El mayor factor común

La variedad de manzanas en el mercado puede resultar alucinante. ¡Mira todas esas manzanas! Granny Smith, Golden Delicious, Cortland,… ¿Qué tienen en común estas manzanas? Además del hecho de que son deliciosas, todas estas manzanas tienen tallos y semillas y crecen en árboles. Aunque las expresiones matemáticas no crecen en los árboles, aún podemos encontrar lo que es común en las expresiones matemáticas.

Al factorizar y simplificar expresiones, a menudo usamos el máximo factor común (abreviado GCF). Trabajaremos para encontrar el MCD explicando cómo manejar coeficientes y exponentes. ¿Te imaginas si las expresiones matemáticas realmente crecieran en los árboles?

¿Qué es un factor?

Al multiplicar cosas (normalmente, números y variables), obtenemos un resultado llamado producto. Estas cosas que multiplicamos para obtener ese producto se llaman factores . Por ejemplo, cuando multiplicamos 2 x 6 para obtener 12, 2 y 6 son factores. Cuando multiplicamos 2 x 4 para obtener 8, 2 y 4 son factores. Como puede ver, 2 es un factor de 8 y 12, y llamamos factores comunes a los factores que comparten diferentes números .

La creación de una expresión

Las expresiones que veremos tienen dos tipos de números: coeficientes y exponentes. Un coeficiente es el número que se multiplica delante de la expresión. Un exponente también es un número, pero es la potencia a la que se eleva una variable. En la expresión 2 x 3 , el coeficiente es 2 y la variable x se eleva a la potencia 3, mostrada por el exponente de 3.

Ejemplo de expresión

Encontrar el MCD

Ahora llegamos al núcleo (no, no al núcleo de Apple) de esta lección: encontrar el MCD.

Las expresiones también pueden tener factores comunes. El mayor de estos factores comunes es el máximo común divisor (MCD). Ahora vamos a aprender todo lo que necesitamos saber sobre cómo encontrar el MCD de expresiones trabajando juntos y encontrando el MCD de estas tres expresiones:

30 a 2 b 2

24 a 3 b

42 a 5 b 3

MCD de coeficientes

¿Cuáles son los coeficientes? Respuesta: 30, 24 y 42. Para los coeficientes, seguimos estas tres ideas en orden: 1 – ‘factor’; 2 – ‘común’; y 3 – ‘mayor’.

Encontrar los factores de coeficientes

Para encontrar todos los factores de un coeficiente, buscamos todos los números que se pueden multiplicar para igualar el coeficiente.

Para el número 30, podemos comenzar nuestra lista de factores con 1 x 30. Luego, hacemos la pregunta: ¿2 veces ‘qué’ es igual a 30? La respuesta: 15. ¿Qué tal el siguiente número? ¿Es 3 un factor? Bueno, ¿3 veces ‘qué’ es igual a 30? La respuesta: 10. El siguiente número es 4. ¿Es 4 un factor? Haciendo la pregunta: 4 por ‘lo que’ es igual a 30, respondemos: no hay un número que multiplique 4 y nos dé 30. Por lo tanto, 4 no es un factor. El siguiente número es 5. Dado que 5 por 6 es igual a 30, 5 y 6 son factores de 30. El siguiente número es 6. Pero ya tenemos 6 como factor, así que podemos detenernos. La lista de factores para 30 son 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30. ¡Genial!

Podemos hacer el mismo proceso con el número 24 para obtener una lista de factores: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. Para el número 42, los factores son 1, 2, 3, 6, 7 , 14, 21 y 42.

Hasta ahora hemos identificado los factores de nuestros coeficientes:

• 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

• 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

• 42: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42

Hemos mirado la F en GCF.

Identificar los factores comunes

Ahora miramos la C: los factores comunes. En las tres listas de factores, ¿qué números aparecen en TODAS las tres listas? Estos son los factores en común. Tenemos 1, 2, 3 y 6.

Identificación del máximo común divisor

Con esta lista de factores comunes, es fácil elegir el más grande. Esta es la G en GCF. El MCD de los coeficientes 30, 24 y 42 es 6. Está bien. Ahora, ¿qué pasa con los exponentes?

Encontrar el MCD

MCD de exponentes

Veamos nuevamente nuestras tres expresiones:

30 a 2 b 2

24 a 3 b

42 a 5 b 3

¿Qué variables se encuentran en TODAS las tres expresiones? Vemos que cada expresión tiene una a y cada expresión tiene una b . Por tanto, sabemos que a b es un factor común. Pero, ¿cómo encontramos el máximo factor común? Al encontrar el más pequeño exponente de una y el más pequeño exponente de b! ¿Qué? Encuentra el mayor factor común encontrando el exponente más pequeño. ¡Sí, es cierto y muy fácil de hacer! Vamos a ver.

Los exponentes de a son 2, 3 y 5. El más pequeño es 2. Esto nos dice que un 2 se puede dividir en cada una de las tres expresiones. Para los exponentes b tenemos 2, 1 (recuerde, si una variable no muestra un exponente, el exponente es 1) y 3. El más pequeño es 1, que nos dice que usemos b 1, que es simplemente b .

Multiplicando estos resultados juntos, tenemos 6 a 2 b . Por lo tanto, el MCD de 30 a 2 b 2 , 24 a 3 b y 42 a 5 b 3 es 6 a 2 b .

Ejemplo de práctica

Consiga una hoja de papel y desplácese hacia abajo lentamente. No mire la respuesta hasta que haya tratado de resolverla usted mismo. No hay necesidad de apresurarse, ¡esperaremos!

Variaremos las expresiones usando otras letras para las variables.

Encuentra el MCD de estas tres expresiones:

3 x y 2 z

21 x y 4

42 y 7 z

No estás tratando de espiar, ¿verdad?

Los coeficientes son 3, 21 y 42. El MCD de estos coeficientes es 3. Está bien que uno de los números sea el MCD de los coeficientes.

En lugar de las variables a y b , tenemos x , y y z . De las tres variables, solo y es común en las tres expresiones. Los exponentes de y son 2, 4 y 7. Elegimos el más pequeño: 2. Por lo tanto, el MCD de las tres expresiones es 3 y 2 . ¡Espero que eso sea lo que tengas!

Si las expresiones matemáticas realmente crecieran en los árboles, ¿tendríamos cosechas numéricas?

Resumen de la lección

En una lista de expresiones matemáticas, el factor común que es el mayor se llama el mayor factor común (abreviado como GCF). Para los coeficientes , podemos enumerar los factores de cada coeficiente y observar qué factores son en común. Luego, se selecciona el mayor de estos factores comunes. Para los exponentes de una variable, primero vemos si una variable aparece en cada una de las expresiones. Para aquellas variables que son comunes, seleccionamos los exponentes más pequeños.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador