Cómo multiplicar y dividir expresiones racionales

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Multiplicar y dividir expresiones racionales

Una expresión racional polinomial es una fracción que contiene polinomios. Ejemplo de expresión racional: ( r – 4) ÷ ( r ² – 5 r + 6)

Hoy veremos la multiplicación y división de expresiones polinomiales racionales. ¿Recuerdas cómo multiplicamos las fracciones ? Multiplicamos directamente a través de las fracciones. La misma regla se aplica a las fracciones polinomiales racionales. Es como 1/2 * 3/5, donde multiplicamos directamente para obtener 3/10.

La división de fracciones requiere su uso para “voltear” la segunda fracción. ¡Lo tienes! Esa regla también se aplica a las fracciones racionales. Es como con 1/9 ÷ 2/7, donde volteamos la segunda fracción y la cambiamos a una multiplicación, por lo que tenemos 1/9 * 7/2. Multiplica directamente y obtenemos 7/18.

Entonces, ¿es realmente así de fácil? Casi. Necesitamos agregar un par de pasos nuevos, pero no están tan mal.

Ejemplo 1

Ejemplo 1

Primero, necesitamos obtener los polinomios en forma simplificada. Eso significa factorizar. Repasemos la factorización. Veamos y ² – 7 y + 10. Buscamos múltiplos de 10 que sumen -7.

-2 * -5 = 10 y -2 + -5 = -7. Entonces y ² – 7 y + 10 se factoriza en ( y – 2) ( y – 5).

¿Qué tal y ² – 8 y + 15? Bueno, -3 * -5 = 15, y -3 + -5 = -8, entonces y ² – 8 y + 15 factores en ( y – 3) ( y – 5).

Y luego y ² – 4 y + 3 factores en ( y – 1) ( y – 3).

Entonces resulta que tenemos:

(( y – 1) ÷ (( y – 5) ( y – 2))) * ((( y – 3) ( y – 5)) ÷ (( y – 1) ( y – 3)))

El segundo paso nuevo es reducir, ¡o lo que me gusta llamar corte! Solo puede reducir de arriba a abajo, ¡nunca reduzca de lado a lado! Una vez que haya ‘cortado’ todos los términos similares desde la parte superior e inferior, los multiplicamos directamente. ¡No multipliques nada de lo que cortamos!

Podemos cancelar ( y – 5) sobre ( y – 5) y ( y – 1) sobre ( y – 1).

¿Se pregunta por qué podemos cancelar? Bueno, sabemos que 4 ÷ 4 = 1; entonces ( y – 3) ÷ ( y – 3) también es igual a 1, ¡así que también los cortamos! Una vez que hayamos ‘cortado’ todos los términos similares desde la parte superior e inferior, los multiplicamos directamente. ¡No multipliques nada de lo que cortamos! ¿Por qué? ¡Porque esos son ahora 1!

Resulta que (( y – 1) ÷ ( y ² – 7 y + 10)) * (( y ² – 8 y + 15) ÷ ( y ² – 4 y + 3)) = 1 ÷ ( y – 2 ).

Ejemplo # 2

Veamos (( r – 4) ÷ ( r ² – 5 r + 6)) ÷ (( r – 3) ÷ ( r ² – 6 r + 9)).

Primero, necesitamos obtener los polinomios en forma simplificada, y eso significa factorizar. Repasemos nuevamente la factorización. Veamos r ² – 5 r + 6. Buscamos múltiplos de 6 que sumen -5.

-3 * -2 = 6 y -3 + -2 = -5. Entonces r ² – 5 r + 6 se factoriza en ( r – 3) ( r – 2).

¿Qué tal r ² – 6 r + 9? Bueno, -3 * -3 = 9 y -3 + -3 = -6, entonces r ² – 6 r + 9 factores en ( r – 3) ( r – 3).

Nuestra expresión con polinomios simplificados ahora se ve así:

(( r – 4) ÷ (( r – 3) ( r – 2))) ÷ (( r – 3) ÷ (( r – 3) ( r – 3)))

Aún no hemos terminado. Para dividir fracciones, necesitamos ‘voltear’ la segunda fracción. Entonces tenemos:

(( r – 4) ÷ (( r – 3) ( r – 2))) * ((( r – 3) ( r – 3)) ÷ ( r – 3))

El segundo paso es cancelar, ¡o lo que me gusta llamar reducción! Una vez que hayamos ‘cortado’ todos los términos semejantes desde arriba y abajo, multiplicamos directamente, ¡pero no multiplicamos nada de lo que cortamos! Entonces, vamos a cortar ( r – 3) sobre ( r – 3) y ( r – 3) sobre ( r – 3).

Resulta que (( r – 4) ÷ ( r ² – 5 r + 6)) ÷ (( r – 3) ÷ ( r ² – 6 r + 9)) = ( r – 4) ÷ ( r – 2 ).

Ejemplo # 3

Veamos (( m + 5) ÷ ( m – 9)) ÷ (( m ² + 10 m + 25) ÷ ( m ² – 81)).

Primero, necesitamos obtener los polinomios en forma simplificada. Eso significa factorizar. Factorizando m ² + 10 m + 25, obtenemos ( m + 5) ( m + 5). Factorizando m ² – 81, obtenemos ( m + 9) ( m – 9). Entonces nuestra expresión ahora se ve así:

(( m + 5) ÷ ( m – 9)) ÷ ((( m + 5) ( m + 5)) ÷ (( m + 9) ( m – 9)))

A continuación, ¡voltee! Le damos la vuelta a la segunda fracción y la cambiamos a una multiplicación. Entonces nuestra expresión ahora se ve así:

(( m + 5) ÷ ( m – 9)) * ((( m + 9) ( m – 9)) ÷ (( m + 5) ( m + 5))).

Antes de tener nuestra respuesta final, cancelamos, o hacemos una “barra oblicua”, términos similares. ¡Amo esta parte! Cortamos ( m + 5) sobre ( m + 5) y ( m – 9) sobre ( m – 9). Una vez que hayamos ‘cortado’ todos los términos similares de la parte superior e inferior, multiplicamos directamente. ¡No multipliques nada de lo que cortamos!

Resulta que (( m + 5) ÷ ( m – 9)) ÷ (( m ² + 10 m + 25) ÷ ( m ² – 81)) = ( m + 9) ÷ ( m + 5).

Resumen de la lección

¡La multiplicación y división de expresiones racionales es fácil una vez que recuerde estos pasos!

Multiplicación

  1. Factor
  2. Barra oblicua
  3. Multiplicar

División

  1. Factor
  2. Dar la vuelta
  3. Barra oblicua
  4. Multiplicar

Una nota final: muchos de mis estudiantes piensan que necesitan obtener un denominador común al multiplicar o dividir fracciones. ¡No no no! ¡Nunca! Solo cuando sumas y restas, así que no cometas el mismo error.

Prueba este mnemónico para ayudarte a recordar:

A dd S ubtract C OMÚN D enominators, M ultiply D ivide N uno.

A untie S sus C ontaje D iamonds, M otra D oes N OT.