Cómo resolver cuadráticas con números complejos como solución

Números imaginarios y complejos

Al permitirnos imaginar que existen raíces cuadradas de números negativos, podemos resolver muchos problemas del mundo real. Entonces, ¿cómo se ve eso realmente? ¿Cómo resolvería un problema que tiene una solución imaginaria? De eso se trata esta lección.

Deberá recordar que los números imaginarios surgen cuando sacamos la raíz cuadrada de un número negativo, y los números complejos son cuando combinamos un número real con uno imaginario mediante la suma o la resta. Si este es un concepto nuevo para ti, entonces debes revisar la lección anterior que presenta estas ideas, pero si ya lo sabes, estamos listos para ver el ejemplo ‘encuentra las raíces de y = 2 x ^ 2 – 5 x + 7. ‘

La fórmula cuadrática

Cuadráticas con soluciones complejas

Cuando un problema le pide las raíces, es lo mismo que pedir los ceros o las intersecciones x . Estos son los puntos donde y = 0, por lo que podemos sustituir ese valor para empezar.

Dado el hecho de que estamos haciendo este ejemplo en la lección sobre soluciones de números complejos, es muy probable que eso sea lo que tendrá este problema. Pero, ¿cómo podríamos saber esto si este problema no fuera en este contexto?

Todo se reducirá al discriminante . Dada una ecuación cuadrática en forma estándar ( y = ax ^ 2 + bx + c ) , el discriminante es b ^ 2 – 4 ac . Si el discriminante es positivo, obtendrá dos respuestas reales. Si es igual a cero, solo obtendrá una respuesta real. Pero si el discriminante es negativo, es cuando obtienes dos soluciones complejas a tu problema.

Este es el caso debido a la forma en que funciona la fórmula cuadrática. Si comenzamos a resolver el ejemplo usando la fórmula cuadrática, como se muestra aquí, puede notar que el discriminante es la parte de la fórmula que está dentro de la raíz cuadrada. Por lo tanto, tiene sentido que si esa parte es negativa, obtendremos un número imaginario allí, haciendo que nuestra respuesta sea un número complejo.

Así que, volviendo a nuestro ejemplo, si sustituimos una , b y c en la fórmula y luego comenzamos a evaluar la expresión, vamos a encontrar la voluntad discriminante, efectivamente, convertirse en negativo. Verás que terminamos con la raíz cuadrada de -31, que será un número imaginario. Si bien esto es lo que hace que este problema sea nuevo y diferente, lo único especial que se puede hacer es poner una i delante de la raíz cuadrada para indicar que es imaginaria, hacer que todo lo demás en el interior de la raíz cuadrada sea positivo y luego continuar como normalmente lo haríamos. ¡Eso es! La i les dice a todos que es un número imaginario, pero luego podemos seguir adelante y continuar resolviendo el problema normalmente.

Resulta que ni siquiera hay nada más que ver con este problema; es tan simplificado como puede ser. Tal vez si pudiéramos simplificar la raíz cuadrada de alguna manera, podríamos tener algunos pasos más, pero no podemos hacer eso, ¡así que estamos listos!

La respuesta simplificada para el ejemplo cuadrático después de poner una i delante de la raíz cuadrada

Polinomios con soluciones complejas

También podemos resolver problemas polinomiales con soluciones imaginarias que son más grandes que las ecuaciones cuadráticas. Tome este ejemplo: Resuelva 0 = ( x – 9) ^ 2 * ( x ^ 2 + 9).

Esta ya no es una ecuación cuadrática porque hay dos x ^ 2 (aquí y aquí). No tenemos ninguna fórmula elegante para problemas como los que tenemos para las cuadráticas, pero debido a la forma en que está escrito, aún podemos resolverlo.

Vamos a utilizar la propiedad de producto cero para este. Esa es la propiedad que dice que cada vez que multiplicas dos cosas juntas y obtienes cero, una de las cosas que multiplicaste al principio debe haber sido cero. En este problema, eso significa que ( x – 9) ^ 2 o ( x ^ 2 + 9) deben ser cero. Ahora que hemos dividido la ecuación, tenemos dos ecuaciones más pequeñas que sabemos cómo resolver simplemente con operaciones inversas.

Obtener la x por sí sola en este primero significa deshacer una potencia de 2 con una raíz cuadrada. La raíz cuadrada de cero sigue siendo cero, así que eso nos deja aquí. Ahora, deshacer -9 con +9 nos dice que x = 9.

Pasar a la otra ecuación requiere que deshagamos pasos similares, solo que en un orden diferente. Lo más externo aquí es el +9, así que primero tenemos que deshacerlo. Eso nos deja con x ^ 2 = -9, y luego nuevamente sacamos la raíz cuadrada de ambos lados para obtener la x por sí misma. Cuando sacamos la raíz cuadrada de un número distinto de cero, necesitamos incluir la raíz positiva y negativa, lo que nos da dos respuestas aquí.

También hemos obtenido la raíz cuadrada de un número negativo, lo que significa que también tenemos soluciones imaginarias. Eso significa poner una i delante de la raíz cuadrada y continuar como de costumbre, como antes. Esta vez podemos ir más allá porque la raíz cuadrada de 9 es solo 3. Eso hace que nuestras otras dos soluciones aquí sean positivas y negativas 3 i .

Al encontrar la raíz cuadrada de un número distinto de cero, incluya la raíz positiva y negativa.

Si bien este video trata sobre cómo resolver problemas con números complejos, debido a que lo único que debe hacer es agregar una i y continuar como de costumbre, es más una revisión de habilidades de resolución anteriores. Siempre que tenga esto en cuenta y no crea que los números complejos requieren que haga algo realmente radical, debe ser bueno.

Resumen de la lección

Para repasar: el discriminante ( b ^ 2 – 4 ac ) le dirá si tiene soluciones reales o complejas para una ecuación cuadrática en forma estándar. Cuando necesite sacar la raíz cuadrada de un número negativo, simplemente coloque una i delante de él, haga que el número en el interior sea positivo y continúe como de costumbre. Puede resolver problemas de polinomios de orden superior usando la propiedad del producto cero , que dice que cuando multiplica dos cosas y obtiene cero, una de las cosas con las que comenzó debe haber sido cero.

Objetivos de la lección

Una vez que termine esta lección, podrá:

• Usa el discriminante para saber si tienes soluciones reales o complejas para una ecuación cuadrática.
• Saca la raíz cuadrada de un número negativo
• Resolver problemas polinomiales de orden superior utilizando la propiedad del producto cero