Sistema de ecuaciones lineales
Suponga que vende entradas para una recaudación de fondos por una causa que es muy importante para usted. Un boleto cuesta $ 15, pero hay un descuento militar de $ 3 para los soldados, por lo que sus boletos cuestan $ 12. Una vez que haya terminado de vender boletos, ha vendido 190 boletos y ha recaudado $ 2,520. Necesita saber cuántos boletos ha vendido a soldados y cuántos boletos ha vendido a no soldados. ¿Alguna idea sobre cómo hacer esto?
Una forma de resolver este problema radica en un sistema de ecuaciones lineales. Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales con las mismas variables, donde una ecuación lineal es una ecuación que es una línea cuando se grafica. Los sistemas de ecuaciones lineales se utilizan para resolver problemas cuando hay más de una incógnita. Una solución a un conjunto de ecuaciones lineales consta de valores de las variables en el sistema que hacen que todas las ecuaciones del sistema sean verdaderas. Un conjunto de soluciones es el conjunto de todas las soluciones de un sistema de ecuaciones. Consideremos nuestro ejemplo de recaudación de fondos para comprender mejor esto.
Si dejamos que x sea el número de boletos de no soldado vendidos e y el número de boletos de soldado vendidos, podemos establecer dos ecuaciones en estas variables y tener un sistema de ecuaciones que represente nuestro problema. Sabemos que vendiste 190 entradas en total. Esto da que x + y = 190. También sabemos que recolectó $ 2,520 mientras cobraba $ 15 por cada boleto de no soldado y $ 12 por cada boleto de soldado. Esto da que 15 x + 12 y = 2520. Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
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Ahora, solo queremos encontrar una solución a este sistema para saber cuántos de cada tipo de boleto hemos vendido.
Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante la representación gráfica
Hay muchas formas diferentes de resolver un sistema de ecuaciones lineales. En esta lección, veremos cómo resolver gráficamente. Como dijimos, una solución a un sistema de ecuaciones lineales consiste en los valores de las variables que hacen que todas las ecuaciones del sistema sean verdaderas. Una vez más, considere nuestro ejemplo de recaudación de fondos.
Para resolver este sistema mediante la representación gráfica, se utiliza el hecho de que si tenemos valores de x e y que hacen que cada una de las ecuaciones cierto, entonces el punto ( x , y ) está en la gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema. Además, si un punto está en la gráfica de ambas ecuaciones en este sistema, entonces debe estar en un punto donde sus gráficas se cruzan.
Teniendo esto en cuenta, tenemos los siguientes pasos para resolver un sistema de ecuaciones lineales graficando:
- Grafique cada una de las ecuaciones del sistema en los mismos ejes de coordenadas.
- Encuentra los puntos en los que se cruzan las gráficas. Estos puntos son las soluciones al sistema.
- Reemplace los puntos en cada una de las ecuaciones para verificar que hace que todas las ecuaciones del sistema sean verdaderas.
Tomemos nuestro ejemplo de recaudación de fondos a través de estos pasos para resolver el sistema.
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Resolver el ejemplo de recaudación de fondos mediante la representación gráfica
Lo primero que queremos hacer es graficar cada una de las ecuaciones del sistema en los mismos ejes de coordenadas.
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El segundo paso es identificar los puntos de intersección de los gráficos.
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Parece que el punto de intersección es (80, 110), o x = 80 e y = 110. Esto es un poco complicado ya que el ojo humano puede dejar mucho margen de error. Es por eso que cuando estamos resolviendo gráficamente, el tercer paso es muy importante para asegurarnos de que identificó correctamente su punto de intersección. Algunas calculadoras gráficas tienen una función de intersección que le permite encontrar el punto de intersección con bastante facilidad, pero si lo está haciendo a mano, debe verificar su respuesta con el tercer paso. Hagamos precisamente eso. Verificamos sustituyendo x = 80 e y = 110 en ambas ecuaciones y asegurándonos de que sea verdadera.
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¡Maravilloso! ¡Vemos que se comprueba! Esto nos dice que x = 80 ey = 110 es una solución para nuestro sistema, y que vendió 80 boletos para no soldados y 110 boletos para soldados. ¡Su recaudación de fondos será un gran éxito!
Resumen de la lección
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales con las mismas variables. Una solución a un sistema de ecuaciones lineales consta de valores de las variables que hacen que todas las ecuaciones del sistema sean verdaderas. Un conjunto de soluciones es un conjunto de todas las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales.
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales graficando, seguimos estos pasos.
- Grafique cada una de las ecuaciones del sistema en los mismos ejes de coordenadas.
- Encuentra los puntos en los que se cruzan las gráficas. Estos puntos son las soluciones al sistema.
- Reemplace los puntos en cada una de las ecuaciones para verificar que hace que todas las ecuaciones del sistema sean verdaderas.
Al resolver graficando, y está graficando a mano, el tercer paso anterior es imperativo, ya que hay mucho margen de error al intentar identificar los puntos de intersección. Graficar es solo una de las muchas formas de resolver sistemas de ecuaciones lineales, por lo que hay muchas más formas de aprender a hacerlo. Mientras tanto, ¡ha dominado una nueva técnica para abordar este tipo de problemas!
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