Rodrigo Ricardo

Cómo resolver ecuaciones simultáneas

Publicado el 8 octubre, 2020

¿Qué son las ecuaciones simultáneas?

Las ecuaciones simultáneas son un conjunto de ecuaciones independientes que involucran una o más variables comunes. Usamos la palabra simultáneo porque hay al menos una solución que satisface todas las ecuaciones al mismo tiempo.

Un conjunto de ecuaciones simultáneas podría verse así:

7 x – 2 y = 45

5 x + y = 37

Para que dos o más ecuaciones compartan una solución, deben usar las mismas variables. En general, esas variables se pueden elevar a cualquier potencia, pero por ahora, solo nos enfocaremos en ecuaciones lineales donde los exponentes no son mayores que 1.

Resolver una sola ecuación ya puede ser un desafío; Entonces, ¿cómo resolvemos más de una ecuación a la vez, especialmente cuando involucran múltiples variables?

En esta lección, discutiremos tres métodos diferentes para resolver ecuaciones simultáneas.

Graficar las ecuaciones

El primer método es graficar el conjunto de ecuaciones para encontrar dónde se cruzan. Las coordenadas en el punto de intersección son la solución que satisface todas las ecuaciones del conjunto.

Usemos nuestro ejemplo anterior para ver este método en acción:

7 x – 2 y = 45

5 x + y = 37

Cuando graficamos estas ecuaciones, este es el resultado:

gráfica de 7 x menos 2 y es igual a 45 y 5 x más y es igual a 37

La gráfica muestra que las ecuaciones se cruzan en el punto (7, 2), lo que significa que la solución que satisface ambas ecuaciones es x = 7, y = 2.

El método de eliminación

A veces es conveniente encontrar la solución algebraicamente eliminando una de las variables de la ecuación. Esto se conoce como método de eliminación . Echemos un vistazo a este ejemplo:

las ecuaciones x más y es igual a 2 y 2 x - y es igual a 1

He codificado por colores las ecuaciones para que podamos realizar un seguimiento de sus partes mientras las manipulamos.

Observe que las ecuaciones contienen y y – y , que se cancelarían entre sí si las sumamos. Así que sumemos las ecuaciones y eliminemos esa y .

ecuaciones simultáneas combinadas

Todo lo que hice fue tomar los términos semejantes de las dos ecuaciones y combinarlos. Observe que tuve que sumar términos semejantes en ambos lados de las ecuaciones. Entonces, todo lo que está en el lado izquierdo de las ecuaciones originales termina en el lado izquierdo de la nueva ecuación, y todo lo que está en el lado derecho de las ecuaciones originales termina en el lado derecho de la nueva ecuación.

En esta nueva ecuación, tenemos y + – y . Sumar un negativo es lo mismo que restar, entonces lo que realmente tenemos es yy . ¡La y ha sido eliminada! Ahora podemos sumar el resto de términos semejantes y solo tendremos que lidiar con la variable x .

Cuando hacemos eso, tenemos la ecuación:

3 x = 3

Que podemos resolver para x :

3 x / 3 = 3/3

x = 1

Encontramos el valor de x . Como x = 1, podemos volver a una de las ecuaciones originales y reemplazar 1 por x :

x + y = 2

1 + y = 2

y = 2 – 1

y = 1

En este conjunto de ecuaciones simultáneas, x y y tanto igual a 1. La solución es x = 1, y = 1.

Pero, ¿y si las ecuaciones no coinciden tan convenientemente?

Resolvamos el siguiente conjunto de ecuaciones simultáneas:

x + 5 y = 17

20 x – 10 y = 10

Ninguno de nuestros coeficientes , o los números adjuntos a las variables, coinciden. Pero echar un vistazo a las 5 y y -10 y . Si multiplicamos 5 y por 2, tendríamos 10 y , que luego podríamos usar para cancelar el -10 y .

Sin embargo, no podemos simplemente multiplicar una parte de la primera ecuación por 2. Necesitamos multiplicar toda la ecuación por 2. Entonces, en lugar de:

x + 5 y = 17

Tendremos:

2 ( x + 5 y ) = 2 (17)

2 x + 10 y = 34

Todo lo que he hecho es multiplicar cada parte de la ecuación por dos. Ahora nuestro conjunto de ecuaciones se ve así:

2 x más 10 y es igual a 34 y 20 x menos 10 y es igual a 10

Volveré a combinar todos los términos semejantes de ambas ecuaciones, como lo hice la última vez:

ecuaciones combinadas

Recuerde, 10 y + -10 y es lo mismo que 10 y – 10 y , por lo que se cancelan entre sí. Ahora, simplificaré agregando los términos semejantes y luego resolveré para x :

22 x = 44

22 x / 22 = 44/22

x = 2

Ahora podemos sustituir 2 por x en cualquiera de las ecuaciones originales:

x + 5 y = 17

2 + 5 y = 17

5 y = 15

5 y / 5 = 15/5

y = 3

La solución de este conjunto de ecuaciones es x = 2, y = 3.

El método de sustitución

Hay otro método algebraico, el método de sustitución , para resolver ecuaciones simultáneas que funciona bien si una de las variables tiene un coeficiente de 1. Consideremos este conjunto de ecuaciones:

x + 5 y = 55

10 x – 2 y = 30

La x en la primera ecuación tiene un coeficiente de 1, así que despejemos x en la primera ecuación restando 5 y de ambos lados:

x + 5 y – 5 y = 55 – 5 y

x = 55-5 y

La 5 y se cancela a sí misma en el lado izquierdo de la ecuación, pero ahora está en el lado derecho. En esencia, “movimos” la 5 y al otro lado de la ecuación.

No se preocupe todavía por encontrar el valor de cualquiera de las variables. En cambio, dado que ahora sabemos que x es lo mismo que 55-5 y , haremos una sustitución en la segunda ecuación original:

sustituyendo 55 menos 5 y en lugar de x

Una vez que distribuyo el 10 en la expresión entre paréntesis, tengo:

550-50 y – 2 y = 30

Ahora, puedo combinar los términos similares:

550-52 y = 30

Y luego resuelve para y :

-52 y = -520

-52 y / -52 = -520 / -52

y = 10

Ahora tenemos el valor de y y podemos conectarlo a cualquiera de las ecuaciones originales para resolver x :

x + 5 y = 55

x + 5 (10) = 55

x + 50 = 55

x + 50 – 50 = 55 – 50

x = 5

La solución para este conjunto de ecuaciones es {x = 5, y = 10}.

Resolvamos un conjunto más de ecuaciones usando sustitución:

7 x – 2 y = 45

5 x + y = 37

Dado que la y en la segunda ecuación tiene un coeficiente de 1, podemos resolverlo fácilmente. Nuevamente, restaremos 5 x de ambos lados para ‘moverlo’.

5 x + y – 5 x = 37 – 5 x

y = 37 – 5 x

Ahora podemos hacer una sustitución de y en la primera ecuación original:

7 x – 2 y = 45

7 x – 2 (37 – 5 x ) = 45

7 x – 74 + 10 x = 45

17 x – 74 = 45

17 x = 119

17 x / 17 = 119/17

x = 7

Ahora podemos insertar ese valor de x en cualquiera de las ecuaciones originales para resolver y :

7 x – 2 y = 45

7 (7) – 2 y = 45

49-2 y = 45

-2 y = -4

-2 y / -2 = -4 / -2

y = 2

La solución para este conjunto de ecuaciones es {x = 7, y = 2}.

Sin solución

Hay algunas situaciones en las que un conjunto de ecuaciones simultáneas no tiene una solución única. Aprendimos al principio de la lección que las ecuaciones simultáneas deben ser independientes . En otras palabras, deben representar ecuaciones verdaderamente diferentes.

Examinemos estas ecuaciones:

x + y = 2

2 x + 2 y = 4

Si toma la primera ecuación y multiplica todos los términos por 2, obtendrá la segunda ecuación. Estas ecuaciones no son realmente diferentes y, por lo tanto, no son independientes. De hecho, si los graficamos, ambos producirían la misma línea:


Las ecuaciones no independientes producen la misma línea.
la línea graficada de ambas ecuaciones es la misma

Ambas ecuaciones producen esta línea, por lo que no hay una solución única. Si intentara resolver estas ecuaciones algebraicamente, obtendría respuestas como 2 = 2 y 0 = 0. Ésta es una señal segura de que sus ecuaciones no son independientes.

A veces, tendrás ecuaciones que producen líneas paralelas cuando se grafican. Consideremos estas ecuaciones:

x + y = 0

x + y = 2

Aquí está la gráfica de estas líneas:


Estas ecuaciones producen líneas paralelas y no tienen una solución común.
las líneas gráficas son paralelas y no tienen intersección

Dado que estas líneas son paralelas y nunca se cruzarán, no comparten una solución. En otras palabras, estas no son ecuaciones simultáneas.

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos que hay tres métodos básicos para resolver ecuaciones simultáneas :

  1. Graficar las ecuaciones

Puede graficar ecuaciones simultáneas y determinar su punto de intersección. Las coordenadas en el punto de intersección son la solución que satisface todas las ecuaciones del conjunto.

  1. El método de eliminación

En el método de eliminación , necesitas que una de las variables (digamos x , por ejemplo) tenga el mismo coeficiente en ambas ecuaciones para que puedas combinar términos semejantes y cancelarlos. Si no hay coeficientes coincidentes, multiplique una de las ecuaciones por un número que le dará coeficientes coincidentes. Esto te dejará con una variable ( y , en este caso) que luego podrás resolver. Después de resolver para y , reemplace su valor en una de las ecuaciones originales para que pueda resolver para x .

  1. El método de sustitución

Finalmente, está el método de sustitución . Este método es útil si una de las variables (digamos x ) tiene un coeficiente de 1. Puede resolverlo “moviendo” y hacia el otro lado. Obtendrá una nueva expresión variable que incluya y que puede sustituir en lugar de x en la otra ecuación. Esto te dejará con una ecuación de una sola variable que se puede resolver algebraicamente. Después de resolver para y , reemplace su valor en una de las ecuaciones originales y resuelva para x .

A veces, no existe una solución. Si las ecuaciones no son independientes, producirán la misma línea en una gráfica y no tendrán una única solución. Además, si las ecuaciones producen líneas paralelas en un gráfico, nunca se cruzarán y no tendrán solución.

¡Puntúa este artículo!