Cómo resolver matrices inversas

La matriz de identidad

En esta lección en video, hablaremos sobre matrices inversas, pero antes de que podamos introducir matrices inversas, necesitamos conocer la matriz identidad. La matriz identidad es la matriz cuadrada que tiene unos en su diagonal y ceros en todas partes. Piense en la matriz de identidad como el número 1 en el mundo de las matrices. Todos estos son ejemplos de matrices de identidad:

Matrices de identidad

¿Ves cómo cada una de estas matrices de identidad son cuadradas, lo que significa que tienen el mismo número de filas y columnas? Además, todos los números son 0 excepto los números que forman la diagonal, que son todos 1. La diagonal es la línea que comienza en la parte superior izquierda de la matriz y termina en la parte inferior derecha. Estas se denominan matrices de identidad porque las matrices que se multiplican por su matriz de identidad de tamaño coincidente producirán la matriz original. Etiquetamos una matriz de identidad con una I mayúscula. Entonces, la matriz A multiplicada por su matriz de identidad I será igual a la matriz A.

La Matriz Inversa

Ahora que hemos cubierto la matriz de identidad, ahora podemos hablar sobre la matriz inversa. Etiquetamos las matrices inversas con un superíndice de -1. Entonces, la matriz inversa se define como la matriz inversa que cumple con los criterios de A * A sup -1 = I, donde A representa una matriz A, A sup -1 representa la inversa de la matriz A e I representa la identidad matriz.

Sí, si multiplicamos una matriz por su inversa, obtendremos la matriz identidad como nuestra respuesta. Esto es como cuando multiplicamos un número entero por su inverso, obtenemos el número 1. Por ejemplo, 1/9 es el inverso de 9. Cuando los multiplicamos, obtenemos 1. También podemos escribir 1/9 como 9 sup -1. Las matrices inversas son importantes en el mundo de las matrices porque no podemos dividir en el mundo de las matrices. Pero al usar una matriz inversa, esencialmente estamos dividiendo. Para vincular esto con el mundo real, piense en el inverso del número 9, 1/9. ¿No estamos dividiendo entre 9? Otra cosa importante a tener en cuenta sobre las matrices inversas es que no todas las matrices tendrán una matriz inversa. Esta es solo la naturaleza del mundo matricial. Al igual que no podemos dividir matrices, no siempre podemos encontrar una matriz inversa.

Encontrar la matriz inversa

Para encontrar la inversa de una matriz en particular, vamos a escribir nuestra matriz y su matriz de identidad de tamaño coincidente justo al lado de la otra en una matriz grande. [A | YO]. Luego, usaremos operaciones matriciales para cambiar la primera matriz en la matriz identidad. Lo que solía ser la matriz de identidad en el lado derecho ahora será la matriz inversa. [I | A sup -1]. ¡Es como magia matemática! ¡Simplemente funciona! Sin embargo, dar una prueba de este método está más allá del alcance de esta lección. Veamos cómo se hace esto con un ejemplo, entonces. Intentaremos encontrar la matriz inversa de esta matriz:

Entonces, primero escribimos esta matriz junto a su matriz de identidad de tamaño correspondiente.

Obtenemos una gran matriz.

Uso de operaciones matriciales

Ahora podemos usar operaciones matriciales para convertir la primera mitad de esta matriz en una matriz identidad. Lo que queremos lograr es convertir todos los números que no están en la diagonal a ceros y todos los números de la diagonal a unos. Sus operaciones de matriz pueden estar en un orden diferente al mío, pero el resultado final siempre será el mismo si se hace correctamente. Lo que voy a hacer es primero agregar la segunda fila a la tercera fila para obtener una nueva tercera fila. Obtengo 0, 0, 1, 0, 1, 1. Ahora voy a multiplicar esta nueva tercera fila por -3 y agregarla a la fila superior para obtener una nueva fila superior. Multiplicando la tercera fila por -3, obtengo 0, 0, -3, 0, -3, -3. Al agregar esto a la fila superior, obtengo 1, 0, 0, 1, -3, -3 para mi nueva fila superior. Mi último paso para convertir el lado izquierdo de esta matriz en una matriz de identidad es dividir la segunda fila por 2. Al hacer esto, obtengo 0, 1, 0, 0, 0.5, 0 para mi nueva segunda fila. Ahora que he convertido el lado izquierdo de la matriz en una matriz de identidad, el lado derecho da mi matriz inversa. Mi matriz inversa es esta.

Y ya terminé. He encontrado mi matriz inversa.

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido ahora. Hemos aprendido que la matriz de identidad es la matriz cuadrada que tiene unos en su diagonal y ceros en todas partes, y una matriz inversa se define como la matriz inversa que cumple con los criterios de A * A sup -1 = I, donde A representa para una matriz A, A sup -1 representa la inversa de la matriz A, e I representa la matriz identidad. Podemos comparar nuestra matriz identidad con el número 1 del mundo matricial. Al igual que cualquier cosa multiplicada por 1 es en sí misma, lo mismo ocurre con la matriz de identidad. Una matriz multiplicada por su matriz de identidad coincidente es ella misma. Para encontrar la inversa de una matriz, creamos una matriz grande combinando nuestra matriz con su matriz de identidad. Escribimos nuestra matriz a la izquierda y la matriz identidad a la derecha. Realizamos operaciones matriciales para convertir el lado izquierdo en la matriz identidad. El lado derecho resultante será nuestra matriz inversa. Es importante conocer las matrices inversas porque actúan como división en el mundo de las matrices. Al usar una matriz inversa, podemos resolver ecuaciones que involucran matrices.

Los resultados del aprendizaje

Utilice el conocimiento que desarrolle mientras estudia esta lección para:

• Definir matriz de identidad y proporcionar ejemplos.
• Caracterizar la matriz inversa
• Resalte los pasos necesarios para encontrar la inversa de una matriz con operaciones matriciales

Rodrigo Ricardo Editor y fundador