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Cómo sumar, restar y multiplicar números complejos

Publicado el 18 septiembre, 2020

Números imaginarios y complejos

Los números imaginarios y complejos pueden ser el tema más abstracto al que estarás expuesto en una clase de álgebra. Debido a que en realidad no existen y solo necesitas imaginar que sí, muchos estudiantes luchan con ellos. Pero si puedes dejarlo ir y aceptar que todavía podemos hacer matemáticas con ellos, resulta que no hay nada complicado en trabajar con ellos.

Pero antes de entrar en eso, repasemos rápidamente qué es un número complejo. Cada vez que sacamos la raíz cuadrada de un número negativo, obtenemos un número imaginario . Cuando esto sucede, usamos i para representar la raíz cuadrada del negativo 1. Esto significa que i ^ 2 es el antiguo -1 regular. ¡Vuelve a ser un número real!


Cuando sacas la raíz cuadrada de un número negativo, se crea un número imaginario.
Fórmula de números imaginarios

Cuando tomamos un número imaginario y le agregamos un número real, terminamos con un número complejo a menudo denotado por a + bi , donde a representa el real yb la porción imaginaria del número.

Bien, entonces, ¿cómo hacemos las operaciones básicas con estos números? Aquí es donde se pone agradable. Aunque la división requerirá que aprenda una nueva habilidad, la suma, resta y multiplicación de números complejos se reducirán a cosas que ya sabe cómo hacer. Siempre que puedas combinar términos semejantes o multiplicar binomios con FOIL, ¡estás listo!

Sumar números complejos

¿Que quiero decir? Bueno, por ejemplo, sumar los dos números complejos (3 – 2 i ) y (-5 – 4 i ) es tan fácil como sumar 3 y -5 para obtener -2, luego -2 i y -4 i para obtener -6 yo . Esto hace que nuestra respuesta sea -2 – 6 i . ¡Eso es!

Ni siquiera tendrías que saber que estamos sumando números complejos para resolver este problema. Todo es simplemente combinar términos semejantes . Primero combine las partes reales, luego las imaginarias y listo.

Si te gusta mantenerlo simple y pensarlo de esta manera, está bien. Pero la fórmula para sumar números complejos es básicamente otra forma de escribir lo que acabo de decir, pero con matemáticas en lugar de palabras. Sumar los números complejos a + bi y c + di nos da una respuesta de ( a + c ) + ( b + d ) i .


Combinar las partes reales y luego las imaginarias es el primer paso para este problema.
Fórmula de suma de números complejos

Restar números complejos

La resta es básicamente lo mismo, pero requiere que tengas cuidado con tus signos negativos. Probemos con el ejemplo (-2 + 4 i ) – (3 – i ). Combinar las partes reales parece -2 – 3 = -5, mientras que los negativos harán que las partes imaginarias sean un poco más complicadas. El primer término imaginario 4 i menos el segundo -i nos da 5 i para nuestro término imaginario. Recuerda que restar un negativo se convierte en sumar un positivo. Por lo tanto, nuestra respuesta es -5 + 5 i .

Si lo prefiere, la fórmula para restar números complejos se ve así: ( a + bi ) – ( c + di ) = ( ac ) + ( bd ) i .

Multiplicar números complejos

A la multiplicación. De nuevo, esto dependerá de una habilidad anterior, la multiplicación de binomios. Ya sea que use FOIL, el método del área, la propiedad distributiva o una de las otras muchas formas de hacerlo, este es el proceso de multiplicar dos términos como ( x – 5) ( x +2).

Ahora, sin embargo, simplemente estamos haciendo lo mismo, pero con i s en lugar de x s. Tome (3 + 2 i ) (4 – i ) como ejemplo. Seguiré adelante y usaré FOIL porque parece ser el método más común, pero de cualquier forma que desee hacer esto está totalmente bien.

Multiplicar los primeros términos (3 * 4) nos da 12. Los exteriores serán 3 * – i , lo que nos da -3 i . Los interiores serán 2 i * 4, que se convierte en 8 i , y finalmente los últimos términos (2 i * – i ) se convierten en -2 i ^ 2.

Luego, podemos usar nuevamente nuestras habilidades para combinar términos semejantes para simplificar nuestra expresión hasta 12 + 5 i -2 i ^ 2. Si dijera que había terminado, más o menos estaría en lo cierto, pero estaría olvidando un paso que evitaría que su respuesta se simplifique por completo. Este paso requiere que recuerde que i ^ 2 es simplemente antiguo -1! No más números imaginarios. Sustituyendo esto por i ^ 2 en nuestra expresión y luego nuevamente combinando términos semejantes nos da nuestra respuesta final como 14 + 5 i .


Puede utilizar el método FOIL para solucionar el problema.
FRUSTRAR

Hagamos un último ejemplo que vincule todas estas habilidades. Simplifica (-7 + 14 i ) – (3 + 2 i ) (1 + 4 i ).

Orden de operaciones i i i i i

Ahora podemos pasar a la parte de resta de este problema. De nuevo, se reduce a combinar términos semejantes. Primero, las partes reales: (-7 – (- 5)). Nuevamente, restar un negativo es como sumar un positivo, así que obtenemos -2. Entonces las partes imaginarias: (14 i – 14 i ) es solo 0. ¡Eso significa que nuestra respuesta es simplemente -2!

Este ejemplo ilustra por qué es bueno poder usar números complejos. Si te permites imaginar que existen, ¡podrías terminar con un número que realmente existe!

Resumen de la lección

Para repasar, sumar y restar números complejos es simplemente una cuestión de combinar términos semejantes. Combina las partes real e imaginaria por separado y puede usar las fórmulas si lo desea. La multiplicación de números complejos es básicamente una revisión de la multiplicación de binomios. El único paso adicional al final es recordar que i ^ 2 es igual a -1. La división de números complejos, por otro lado, es un poco más complicada y se enseñará en una lección posterior.

Objetivos de la lección

Una vez que termine esta lección, podrá sumar, restar y multiplicar números complejos.

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