Cómo sumar y restar expresiones racionales

Definición de polinomio racional

La palabra ‘racional’ significa ‘fracción’. Entonces, un polinomio racional es una fracción con polinomios en el numerador (arriba) y / o denominador (abajo). Aquí hay un ejemplo de un polinomio racional:

( x + 4) / ( x ^ 2 + 3 x + 2)

Al comenzar, recordemos que para sumar o restar fracciones, necesitamos un denominador común. Prueba este mnemónico para ayudarte a recordar cuándo necesitas un denominador común y cuándo no:

Sumar Restar Denominadores Comunes ; Multiplicar Dividir Ninguno

La tía se sienta a contar diamantes; Madre no.

¡Empecemos!

Sumar y restar expresiones racionales

1. Necesitamos factorizar.
2. Encuentra un denominador común.
3. Reescribe cada fracción usando el denominador común.
4. Coloca todo el numerador sobre el denominador común.
5. Simplifica el numerador.
6. Factoriza y cancela si es posible.
7. Escribe la respuesta final en forma simplificada.

Hay bastantes pasos, pero déjame mostrarte cómo funcionan.

Encuentra el denominador común y úsalo para reescribir las fracciones.

Ejemplo 1

Nuestra primera expresión es (1 / ( x – 2)) + (3 / ( x + 4)).

El primer paso es factorizar. Como no tenemos nada que factorizar, pasemos al siguiente paso, anotando nuestros denominadores , ( x -2) y ( x +4). Este será nuestro denominador común: ( x – 2) ( x + 4).

Ahora necesitamos crear nuestro denominador común. Veamos nuestro primer término, (1 / ( x – 2)). ( x – 2) está en el denominador. Necesitamos multiplicar por ( x + 4) para hacer nuestro denominador común. Pero si multiplicamos por ( x + 4) en la parte inferior, necesitamos multiplicar por ( x + 4) en la parte superior.

Por ahora lo vamos a escribir y no a multiplicar todavía.

Veamos nuestro segundo término: (3 / ( x + 4)). El denominador es ( x + 4). Necesitamos multiplicar ( x – 2) por ( x + 4) para obtener nuestro denominador común. Pero una vez más, si multiplicamos por ( x – 2) en la parte inferior, también necesitamos multiplicar por ella en la parte superior.

Hasta ahora, esto es lo que tenemos:

((1 ( x + 4)) / (( x – 2) ( x + 4))) + ((3 ( x – 2)) / (( x + 4) ( x – 2)))

No FALLE el denominador, ¡es posible que tengamos que cancelar como nuestra respuesta final!

Ahora escribamos el numerador completo sobre nuestro denominador común.

(1 ( x + 4)) + 3 ( x – 2)) / (( x – 2) ( x + 4))

Simplifiquemos el numerador.

1 ( x + 4) = x + 4

3 ( x – 2) = 3 x – 6

( x + 4 + 3 x – 6) / (( x + 4) ( x – 2))

Recopile términos semejantes en el numerador.

Colocar el numerador sobre el denominador común prepara el problema para simplificar

(4 x – 2) / (( x + 4) ( x – 2))

Factoriza el numerador si es posible.

4 x – 2 = 2 (2 x – 1)

(2 (2 x – 1)) / (( x + 4) ( x – 2))

No hay nada que cortar o cancelar, por lo que distribuimos y FOIL para nuestra respuesta final.

(4 x – 2) / ( x ^ 2 + 2 x – 8)

Ejemplo # 2

((2 x ) / ( x ^ 2-16)) – (1 / ( x + 4))

x ^ 2-16 factores en ( x – 4) ( x + 4). Pongamos eso en la expresión.

((2 x ) / (( x – 4) ( x + 4))) – (1 / ( x + 4))

Nuestro siguiente paso es escribir todos nuestros denominadores.

En el primer término, tenemos ( x + 4) ( x – 4), entonces los escribimos.

Continuamos con el siguiente término y miramos el denominador. Nunca duplicamos denominadores de un término a otro. Como ya tenemos ( x + 4) escrito como parte de nuestro denominador, no necesitamos duplicarlo. Entonces resulta que nuestro denominador común será ( x + 4) ( x – 4).

Ahora necesitamos crear nuestro denominador común. Veamos nuestro primer término ((2 x ) / ( x + 4) ( x – 4)). Ya tenemos nuestro denominador común aquí, así que vamos a pasar al siguiente término: (1 / ( x + 4)).

Aquí, necesitamos multiplicar ( x – 4) para hacer nuestro denominador común. Pero si multiplicamos ( x – 4) en la parte inferior, necesitamos multiplicar por ( x – 4) en la parte superior. Por ahora, vamos a escribirlo y no multiplicarlo todavía. Entonces tenemos ((2 x ) / ( x + 4) ( x – 4)) – (1 ( x – 4) / ( x + 4) ( x – 4)).

Después de recopilar términos semejantes, la expresión resultante se puede factorizar

Escribamos el numerador sobre el denominador.

((2 x ) -1 ( x -4)) / (( x + 4) ( x – 4))

Simplifique el numerador (o la parte superior) y vuelva a escribirlo sobre el denominador.

Distribuye -1 en ( x – 4) = -1 x + 4.

Recopilando términos semejantes, 2 x – 1 x = x .

Entonces ahora nuestra expresión se ve así:

( x + 4) / ( x + 4) ( x – 4)

Podemos cortar o cancelar ( x + 4) sobre ( x + 4).

Esto nos da 1 / ( x – 4) como nuestra respuesta final.

Ejemplo # 3

((5 x ^ 2 – 3) / ( x ^ 2 + 6 x + 8)) – 4

El primer paso es factorizar.

x ^ 2 + 6 x + 8 = ( x + 4) ( x + 2)

Nuestro siguiente paso es escribir todos nuestros denominadores.

En nuestro primer término, tenemos ( x + 4) ( x + 2), así que lo escribimos.

El denominador del siguiente término es 1.

Por tanto, nuestro denominador común será ( x + 4) ( x + 2).

Ahora necesitamos crear nuestro denominador común. Veamos nuestro primer término (5 x ^ 2 – 3) / (( x + 4) ( x + 2)).

Ya tenemos nuestro denominador común aquí, así que vamos a pasar al siguiente término, 4.

Aquí, solo tenemos un 1 en el denominador, por lo que necesitamos multiplicar por ( x + 4) ( x + 2) sobre ( x +4) ( x +2).

Así es como se verá nuestra nueva expresión:

((5 x ^ 2 – 3) / ( x + 4) ( x + 2)) – ((4 ( x + 4) ( x + 2)) / (( x + 4) ( x + 2))) .

El paso final después de usar FOIL para simplificar la expresión

Escribamos el numerador completo (arriba) sobre el denominador (abajo).

((5 x ^ 2 – 3 – 4 ( x + 4) ( x + 2))) / (( x + 4) ( x + 2))

Ahora podemos simplificar la parte superior o el numerador.

( x +4) ( x +2) = x ^ 2 +6 x +8

Multiplica -4 ( x ^ 2 +6 x +8) y tenemos -4 x ^ 2-24 x – 32.

Continuemos con el numerador y recopilemos términos semejantes, por lo que nuestra expresión se ve así:

( x ^ 2 – 24 x – 35) / (( x + 4) ( x + 2))

El numerador no factoriza sin usar la fórmula cuadrática, por lo que esta es casi nuestra respuesta, excepto que necesitamos FOIL en la parte inferior, o denominador. Aquí está nuestra respuesta final:

( x ^ 2 – 24 x – 35) / ( x ^ 2 + 6 x + 8)

Resumen de la lección

Como hemos visto, el proceso para sumar o restar expresiones racionales es:

1. Necesitamos factorizar.
2. Encuentra un denominador común.
3. Reescribe cada fracción usando el denominador común.
4. Coloca todo el numerador sobre el denominador común.
5. Simplifica el numerador.
6. Factoriza y cancela si es posible.
7. Escribe la respuesta final en forma simplificada.

Objetivos de la lección

Una vez que complete esta lección, podrá sumar o restar expresiones racionales.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador