Óvalos de Cassini
¡Dejemos que las matemáticas se infiltran en nuestro desayuno por un momento! Un alimento básico común en el desayuno son los huevos. Si colocas dos huevos uno al lado del otro, con sus extremos estrechos uno frente al otro, y lo miras como una imagen bidimensional, ¡en realidad estás viendo una curva matemática!
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En matemáticas, esta curva es un óvalo de Cassini o, a veces, una elipse de Cassini o una curva de huevo. Los óvalos de Cassini son un conjunto de puntos que están descritos por dos puntos fijos. Es decir, el producto de las distancias entre cualquier punto de un óvalo de Cassini y cada uno de los puntos fijos es constante.
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La ecuación general de un óvalo de Cassini es la siguiente:
- ( X 2 + y 2 + un 2 ) 2 – 4 un 2 x 2 = b 4
Donde a es la mitad de la distancia entre los dos puntos fijos que describen la curva yb es la raíz cuadrada del producto de las distancias entre cada uno de los puntos y cualquier punto de la curva.
Al igual que con cualquier curva matemática, podemos trazar o representar gráficamente los óvalos de Cassini. ¡Echemos un vistazo a cómo hacer esto!
Cómo trazar óvalos de Cassini
Trazar, o graficar, los óvalos de Cassini toma los mismos pasos que graficar cualquier ecuación matemática, y esos son los siguientes:
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- Determine la forma general de la gráfica examinando su ecuación y la información dada.
- Trace varios puntos que satisfagan la ecuación y conecte los puntos en una curva suave de manera adecuada.
Primero, examinemos el paso uno. Cuando se trata de óvalos de Cassini, la forma general de la gráfica se determina por los valores de una y b .
- Si a < b , el gráfico es un solo bucle que tiene la forma de una elipse o de un maní sin cáscara.
- Si a = b , la gráfica tiene la forma del símbolo de infinito.
- Si a > b , el gráfico son dos bucles en forma de dos huevos con sus extremos estrechos uno frente al otro.
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Por ejemplo, si miramos hacia atrás en la gráfica de nuestro ejemplo inicial, tiene la forma de dos huevos uno frente al otro, entonces sabemos que para la ecuación de esa gráfica, a > b .
Esto nos dice que el paso uno de planear un Cassini ovalada es una cuestión de la identificación de una y b de la ecuación y la información dada, y luego comparar una y b para determinar la forma general de la gráfica.
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Ahora considere el paso dos. Una vez que hayamos descubierto la forma general del gráfico, podemos encontrar varios puntos que satisfagan la ecuación del óvalo de Cassini, trazarlos y luego conectarlos en consecuencia.
Hmmm … esto no suena demasiado difícil. La ecuación es un poco diferente de lo que estamos acostumbrados, pero el proceso general de trazado es el mismo que el de cualquier otra curva o ecuación matemática. Veamos un ejemplo para ayudar a solidificar nuestra comprensión de cómo trazar óvalos de Cassini.
Ejemplo
Considere la siguiente ecuación de un óvalo de Cassini, en la que a = 2 y b = 2.
- ( X 2 + y 2 + 4) 2 – 16 x 2 = 16
Para trazar este óvalo de Cassini, simplemente lo seguimos siguiendo nuestros pasos. En primer lugar, identificar una y B , que se da como un = 2 y b = 2. Si una y b no se dan, entonces sólo tendría que examinar y / o reescribir la ecuación para identificar una y b .
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Ahora, los comparamos. Como a = 2 y b = 2, tenemos que a = b , por lo que sabemos que la forma general de la gráfica será la del símbolo de infinito.
¡Vamos al paso dos! Encontramos varios puntos que satisfacen la ecuación sustituyendo los valores de x y resolviendo para y . El proceso de resolución implica la resolución de ecuaciones cuárticas, que es un tema para otra lección, por lo que aquí se nos darán puntos que satisfacen la ecuación.
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Por último, trazamos estos puntos y los conectamos en forma de símbolo de infinito.
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¡Ta-da! ¡Hemos trazado nuestro óvalo de Cassini! ¡Uf! ¡Me alegro de haber acertado en nuestra suposición de que el proceso no parecía demasiado difícil!
Resumen de la lección
Los óvalos de Cassini son curvas matemáticas, o un conjunto de puntos, descritos por dos puntos fijos. Es decir, el producto de las distancias entre cualquier punto de un óvalo de Cassini y cada uno de los puntos fijos es constante.
La forma general de la ecuación de un óvalo de Cassini es la siguiente:
- ( X 2 + y 2 + un 2 ) 2 – 4 un 2 x 2 = b 4
Donde a es la mitad de la distancia entre los dos puntos fijos que describen la curva yb es la raíz cuadrada del producto de las distancias entre cada uno de los puntos y cualquier punto de la curva.
La forma general de la gráfica se determina por los valores de una y b .
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Trazar, o graficar, un óvalo de Cassini es lo mismo que trazar cualquier otra curva matemática. En primer lugar, se determina la forma general de la gráfica mediante la comparación de los valores de una y b . Luego trazamos varios puntos que satisfacen la ecuación y los conectamos en consecuencia.
Al igual que con cualquier ecuación que sea nueva para nosotros, se necesitará algo de práctica para familiarizarse más con el trazado de óvalos de Cassini. Sin embargo, también como con cualquier nuevo tipo de ecuación, cuanto más practiquemos graficando óvalos de Cassini, ¡más fácil será!
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