Diámetro de Brocard: definición y fórmula

Diámetro de Brocard

Suponga que un constructor compra un gran terreno triangular, con longitudes de lado de 3 kilómetros, 4 kilómetros y 5 kilómetros, para construir la casa de sus sueños. En el terreno en la parte trasera de la casa, hay un lago circular bastante grande sobre el que el constructor quisiera construir un puente como se muestra en la imagen.

Resulta que este puente en realidad representa una característica muy bonita que cada triángulo posee llamada diámetro de Brocard. Para definir el diámetro de Brocard de un triángulo, vamos a necesitar estar familiarizados con algunas otras definiciones, así que tengan paciencia aquí mientras enumeramos algo de vocabulario.

• Mediana : La mediana de un triángulo es un segmento de línea que va desde un vértice del triángulo hasta el punto medio del lado opuesto a ese vértice.
• Bisectriz de ángulo : una línea que corta el ángulo en cualquier vértice de un triángulo exactamente por la mitad.
• Symmedian : Los tres symmedians de un triángulo son las líneas que son reflejos de las medianas del triángulo sobre su bisectriz correspondiente del ángulo.
• Punto Symmedian : El punto Symmedian de un triángulo es el punto donde se cruzan los tres symmedians del triángulo.
• Circuncírculo : El circuncírculo de un triángulo es un círculo dibujado alrededor del triángulo que pasa por todos los vértices del triángulo.
• Circuncentro : El circuncentro de un triángulo es el punto central de la circunferencia del triángulo.
• Circumradius : El circunradio de un triángulo es el radio de la circunferencia del triángulo.
• Círculo de Brocard : El círculo de Brocard de un triángulo es el círculo que pasa por el punto symmedian del triángulo y el circuncentro del triángulo.

¡Caramba! ¡Esto se está convirtiendo en un diccionario matemático! ¿Quién diría que hay tantos aspectos en un triángulo simple? Bueno, la buena noticia es que ahora tenemos todo lo que necesitamos para definir el diámetro Brocard de un triángulo.

El diámetro de Brocard de un triángulo es el diámetro del círculo de Brocard del triángulo que va desde el punto simmediano del triángulo hasta el circuncentro del triángulo.

¡Ah-ja! Ahora podemos ver que el lago es el círculo de Brocard de la parcela de tierra triangular, y el puente que el constructor le gustaría construir sobre el lago es el diámetro de Brocard de la parcela de tierra triangular.

Longitud de un diámetro Brocard

Dado que el puente está sobre el agua, el constructor está teniendo dificultades para determinar la longitud que debe tener el puente. ¡Afortunadamente, tenemos un par de fórmulas que lo ayudarán! Verá, tenemos una buena fórmula para la longitud del diámetro de Brocard de un triángulo basada en las longitudes de los lados del triángulo. Esta fórmula también se basa en la longitud del circunradio del triángulo, así que primero, veamos la fórmula para la longitud del circunradio de un triángulo.

Ahora que sabemos que la fórmula para la longitud de la circunferencia circunscrita de un triángulo con longitudes de lado a , b , y c , podemos aprender la fórmula para la longitud del diámetro Brocard de un triángulo con longitudes de lado a , b , c , y circunradio de longitud R .

¡Excelente! Así que para encontrar la longitud del diámetro Brocard de un triángulo con longitudes de los lados un , b , y c , usamos los siguientes pasos:

1. Enchufe un , b , y c en la fórmula para la circunferencia circunscrita, R , del triángulo, y calcular la circunferencia circunscrita.
2. Reemplaza a , b , c y R en la fórmula para la longitud del diámetro de Brocard del triángulo y simplifica para obtener el diámetro de Brocard.

¡Intentemos encontrar la longitud de este puente para que el constructor pueda ponerse a trabajar!

Ejemplo

Para encontrar la longitud del puente, estamos encontrando la longitud del diámetro de Brocard de la parcela triangular de tierra, con longitudes de lado de 3 kilómetros, 4 kilómetros y 5 kilómetros, por lo que podemos seguir nuestros pasos.

El primer paso es reemplazar las longitudes de los lados a = 3, b = 4 y c = 5 en la fórmula para el circunradio de un triángulo.

Eso no es tan malo como pensamos que podría ser. Simplemente ingresando algunos valores y simplificando, obtenemos que el radio de circunferencia de la parcela de tierra triangular sea de 2.5 kilómetros.

¡Pasemos al siguiente y último paso! Simplemente reemplazamos a = 3, b = 4, c = 5 y R = 2.5 en la fórmula para el diámetro de Brocard de un triángulo y simplificamos.

Lo hicimos, y en realidad fue bastante fácil con estas fórmulas. Tenemos que la longitud del diámetro de Brocard, y por lo tanto la longitud del puente, es de aproximadamente 1,4 kilómetros.

Resumen de la lección

Para discutir el diámetro de Brocard de un triángulo, debemos estar familiarizados con muchas partes diferentes del triángulo, como las medianas, las bisectrices de los ángulos, los simmedianos, el punto simmediano, el circuncírculo, el circunradio, el circuncírculo y el círculo de Brocard.

El diámetro de Brocard de un triángulo es el diámetro del círculo de Brocard del triángulo que va desde el punto simmediano del triángulo hasta el circuncentro del triángulo. Podemos calcular la longitud del diámetro Brocard de un triángulo con longitudes de lado a , b , y c , por primera cálculo de la longitud de la circunferencia circunscrita, R , del triángulo usando una fórmula, y después de conectar un , b , c , y R en la fórmula para la longitud del diámetro de Brocard.

Como hemos visto, estas fórmulas simplifican bastante las cosas cuando se trata de encontrar la longitud del diámetro de Brocard de un triángulo. Dado que todos los triángulos tienen un diámetro de Brocard, y los triángulos aparecen a menudo en el mundo real, es una buena idea guardar esta información en nuestro bolsillo trasero de matemáticas en caso de que la necesitemos en el futuro.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador