Distribución binomial: definición, fórmula y ejemplos

¿Qué es una distribución binomial?

Una distribución de probabilidad es una función o regla que asigna probabilidades de ocurrencia a cada resultado posible de un evento aleatorio. Las distribuciones de probabilidad nos dan una representación visual de todos los resultados posibles de algún evento y la probabilidad de obtener un resultado en relación con los otros resultados posibles.

Una distribución binomial es una distribución de probabilidad específica. Se utiliza para modelar la probabilidad de obtener uno de dos resultados, un cierto número de veces ( k ), de un número fijo de ensayos ( N ) de un evento aleatorio discreto .

Una distribución binomial tiene solo dos resultados: el resultado esperado se llama éxito y cualquier otro resultado es un fracaso. La probabilidad de un resultado exitoso es py la probabilidad de un fracaso es 1 – p .

Un resultado exitoso no significa que sea un resultado favorable, sino solo el resultado que se cuenta. Digamos que un evento aleatorio discreto fue el número de personas que recibieron disparos de armas de fuego el año pasado. Estaríamos buscando la probabilidad de obtener un cierto número de víctimas del grupo de tiroteos. Recibir un disparo no es un resultado favorable ni exitoso para la víctima, pero es el resultado que contamos para esta variable discreta.

Criterios para utilizar distribuciones binomiales

La distribución binomial se utiliza para modelar las probabilidades de sucesos cuando se cumplen reglas específicas.

• Regla n. ° 1: solo hay dos resultados mutuamente excluyentes para una variable aleatoria discreta (es decir, éxito o fracaso).
• Regla n. ° 2: Hay un número fijo de ensayos repetidos (es decir, pruebas sucesivas sin resultados excluidos).
• Regla n. ° 3: cada ensayo es un evento independiente (es decir, el resultado de un ensayo no afecta los resultados de los ensayos posteriores).
• Regla n. ° 4: La probabilidad de éxito de cada prueba es fija (es decir, la probabilidad de obtener un resultado exitoso es la misma para todas las pruebas).

Cuando un resultado exitoso es una igualdad

Las distribuciones binomiales se usarían para modelar situaciones donde el resultado exitoso es exactamente un valor. Veamos algunos ejemplos.

Dado que una pareja tiene 5 hijos, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 3 sean varones?
Posibles resultados: niño o niña
Número fijo de ensayos independientes repetidos: 5
De 5 ensayos, exactamente 3 niños son niños = éxito
Probabilidad de éxito (0,5) + probabilidad de fracaso (0,5) = 1

Dadas 5 preguntas en una prueba, ¿cuál es la probabilidad de adivinar al azar exactamente 2 preguntas correctamente?
Posibles resultados: correcto o incorrecto
Número fijo de ensayos independientes repetidos: 5
de 5 ensayos, exactamente 2 preguntas respondidas correctamente = éxito
Probabilidad de éxito (0,5) + probabilidad de fracaso (0,5) = 1

Dados 10 lanzamientos de un dado, ¿cuál es la probabilidad de que saque el número 1 exactamente cinco veces?
Posibles resultados: saque un 1 o saque algo que no sea 1 (es decir, 2, 3, 4, 5 o 6)
Número fijo de intentos independientes repetidos: 10
de 10 intentos, exactamente cinco de los tirados aterrizan en 1 =
Probabilidad de éxito de éxito (1/6 = 0,17) + probabilidad de fracaso (5/6 = 0,83) = 1

Cuando un resultado exitoso es una desigualdad

¿Qué pasa cuando el resultado exitoso no es exactamente un resultado? Reescribamos la primera situación como esta:

Dado que una pareja tiene 5 hijos, ¿cuál es la probabilidad de que 3 o más sean varones?
Posibles resultados: niño o niña
Número fijo de ensayos independientes repetidos: 5
De 5 ensayos, 3, 4 o 5 son niños = éxito
Probabilidad de éxito (0,5) + probabilidad de fracaso (0,5) = 1.

Cuando el resultado exitoso adquiere más de un valor exacto, buscamos la probabilidad de una distribución binomial acumulativa . Las distribuciones binomiales acumulativas se calculan de manera diferente a cuando los éxitos pueden tomar un solo valor. La fórmula de distribución binomial se aplica a situaciones que no incluyen probabilidades acumuladas.

Evaluación de distribuciones binomiales

Para calcular una distribución binomial, deberá (a) introducir el valor correcto en cada variable, (b) encontrar el coeficiente binomial y (c) evaluar la fórmula de probabilidad binomial. ¡Aquí vamos!

Pregunta: Dado que una pareja tiene 5 hijos, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 3 sean varones?

(a) Primero, inserte el valor correcto en cada variable:

• n = número de ensayos independientes = 5
• k = éxito = 3
• p = probabilidad de éxito = 0,5

(b) A continuación, encuentre el coeficiente binomial :

(c) Luego, evalúe la fórmula de probabilidad binomial :

Respuesta: Dado que una pareja tiene 5 hijos, la probabilidad de que exactamente 3 de ellos sean varones es de 0.3125.

Resumen de la lección

Una distribución de probabilidad es una función o regla que asigna probabilidades de ocurrencia a cada resultado posible de un evento aleatorio. Una distribución binomial es un tipo de distribución de probabilidad que se utiliza para modelar la probabilidad de obtener uno de dos resultados, un cierto número de veces ( k ), de un número fijo de ensayos ( N ) de un evento aleatorio discreto.

Para utilizar una distribución binomial, la situación que se modela debe cumplir con cuatro criterios:

• Solo puede haber dos resultados mutuamente excluyentes para una variable aleatoria discreta.
• Debe haber un número fijo de ensayos repetidos.
• Los ensayos deben ser independientes.
• La probabilidad de éxito de cada prueba es fija.

Cuando el resultado exitoso puede tomar más de un valor exacto, entonces buscamos la probabilidad de una distribución binomial acumulativa .

Para calcular una distribución binomial, identifique el número de ensayos independientes, el número de ensayos exitosos y la probabilidad de éxito, y luego evalúe la fórmula de probabilidad binomial.