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Ejemplos de sistemas dependientes de ecuaciones lineales

Publicado el 23 noviembre, 2020

Definición de sistema de ecuaciones

Primero, repasemos la definición de ‘sistema de ecuaciones’. Un sistema de ecuaciones son dos o más ecuaciones que se resuelven simultáneamente. Para resolver el sistema, debes encontrar soluciones para cada variable. En un sistema de ecuaciones lineales, todas las ecuaciones son lineales, lo que significa que forman una línea recta cuando se grafican. Las gráficas de las ecuaciones pueden ser paralelas, cruzarse en un punto o formar la misma línea. Si las ecuaciones forman la misma línea, nos referimos a ella como un sistema dependiente de ecuaciones lineales .

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Las dos ecuaciones de este sistema parecen ser completamente diferentes. Pero cuando se grafican, vemos que producen la misma línea. La solución de un sistema de ecuaciones se encuentra en el punto de intersección.

Entonces, ¿cómo podemos identificar la solución a un sistema dependiente? Dado que las líneas son la misma, podemos pensar en ellos como se cortan en cada punto, lo que significa que cada solución para x y y que satisface una ecuación también satisfará la otra.

Por ejemplo, podemos sustituir las coordenadas (1, 3) en la primera ecuación, lo que nos da 3 = 1 + 2. Como la ecuación es verdadera, sabemos que (1, 3) es una solución para esta ecuación. Si sustituimos los mismos valores en la segunda ecuación, obtenemos -3 (1) + 3 (3) = 6. Después de simplificarlo a -3 + 9 = 6, vemos que las coordenadas también satisfacen la segunda ecuación.

Podríamos continuar probando cualquier punto que satisfaga una ecuación y ver que también satisface la otra. Esto crea un número infinito de soluciones para el sistema. De hecho, todos los sistemas dependientes tienen un número infinito de soluciones.

En este ejemplo, pudimos usar el gráfico para determinar si el sistema era dependiente o no. Veamos cómo podemos identificar la dependencia examinando las ecuaciones.

Identificación de sistemas dependientes

Hay varias formas en que podemos determinar si un sistema de ecuaciones es dependiente sin graficar las líneas. Podríamos usar prueba y error, probando varias soluciones para una ecuación para ver si satisfacen a la otra, pero eso llevaría mucho tiempo. Otra estrategia consiste en encontrar las pendientes y las intersecciones de las ecuaciones.

Si las pendientes y las intersecciones son las mismas, entonces deben ser la misma línea. La primera ecuación en nuestro ejemplo anterior tenía la forma y = mx + b , también llamada forma pendiente-intersección . El coeficiente de x es la pendiente, o m, y el término constante es la y intercepción, o b. Esto nos permite identificar rápidamente la pendiente como 1 y la intersección en y como 2.

Podemos reescribir la segunda ecuación en forma pendiente-intersección sumando 3 x y dividiendo por 3 en ambos lados, resultando en y = x + 2. Sin ir más lejos, vemos que la forma pendiente-intersección de la segunda ecuación es exactamente lo mismo que la primera ecuación. Pero solo para estar seguros, podemos comparar sus pendientes e intersecciones y . Ambas ecuaciones tienen una pendiente de 1 y una intersección en y de 2. Esto nos dice que son la misma recta y que el sistema de ecuaciones es dependiente.

También podemos decir que un sistema de ecuaciones es dependiente si una ecuación es múltiplo de la otra.

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En este ejemplo, las dos ecuaciones están escritas en el mismo formato, lo que nos permite ver claramente un patrón. Si multiplicamos la primera ecuación por 2, el resultado sería -8 x + 6 y = 30, lo mismo que la segunda ecuación.

Álgebra con sistemas dependientes

Si no usamos una gráfica o examinamos las ecuaciones, también podríamos decir que el sistema es dependiente resolviéndolo algebraicamente. Usando la sustitución para resolver el primer ejemplo, podemos sustituir x + 2 por y en la segunda ecuación y luego resolver para x .

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Después de sustituir x + 2 por y , podemos simplificar la ecuación aplicando la propiedad distributiva y combinando términos semejantes. Observe que la variable x se eliminó cuando se combinaron los términos -3 x y 3 x . Nos quedamos con solo 6 = 6, lo que indica que cualquier valor de x satisfará esa ecuación. Esta es una pista de que el sistema de ecuaciones es dependiente.

Resolver el segundo ejemplo algebraicamente producirá un resultado similar. Usemos el método de eliminación para resolver este. Podemos multiplicar la primera ecuación por -2 y sumar las ecuaciones.

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Con el método de eliminación, normalmente se elimina una variable dejando la otra variable por resolver. En este caso, se eliminan ambas variables y nos queda 0 = 0. Esto nos permite saber que cualquier par ( x , y ) que funcione para una ecuación funcionará para la otra. Por tanto, el sistema de ecuaciones es dependiente.

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido aquí. Un sistema de ecuaciones son dos o más ecuaciones que se resuelven simultáneamente, mientras que un sistema dependiente de ecuaciones lineales son ecuaciones que forman una línea recta en una gráfica. Un sistema dependiente de ecuaciones lineales tiene un número infinito de soluciones. Cualquier solución que satisfaga una ecuación también satisfará la otra. Podemos determinar si un sistema es dependiente graficándolo, examinando las ecuaciones o usando álgebra.

Cuando se grafican, las ecuaciones aparecen como una línea. Al examinar las ecuaciones en el mismo formato, podemos ver que una ecuación es múltiplo de la otra. Si ambos están en forma pendiente-intersección , o cuando el coeficiente de x es la pendiente (o m ), y el término constante es la y intercepción (o b ) escrito como y = mx + b , las ecuaciones son exactamente mismo. Al resolver el sistema mediante sustitución, nos queda un número igual a sí mismo. El uso de la eliminación da como resultado que se eliminen ambas variables en lugar de solo una.

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