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El enfoque y la directriz de una parábola

Publicado el 22 septiembre, 2020

Antecedentes de las parábolas

¡Conoce a Melvin, la araña amistosa!

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¿No es lindo? Da la casualidad de que Melvin no es una araña ordinaria, ¡es una araña matemática! Bien, probablemente estés poniendo los ojos en blanco ahora, ¡pero ten paciencia conmigo! Usaremos a Melvin para introducir una curva matemática llamada parábola.

Eche otro vistazo a Melvin con algunas líneas y curvas dibujadas.

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Observe la curva roja que conecta sus rodillas. En matemáticas, esta curva roja se llama parábola y representa la gráfica de una ecuación cuadrática y = ax 2 + bx + c .

Las parábolas tienen diferentes características. Parecen una U o una U invertida, y el punto inferior o superior de esa U se llama vértice de la parábola. La línea vertical que pasa por el vértice de una parábola se llama eje de simetría y la parábola es simétrica con respecto a esta línea.

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Hay dos características más de una parábola que nos interesan para esta lección, y esas son el enfoque y la directriz de la parábola. Podemos usar estas características para definir formalmente una parábola.

Foco y directriz de una parábola

¡Volvamos con Melvin! Como dijimos, Melvin es una araña matemática, y otra cosa interesante de él es que para cada una de sus piernas, la longitud de la pierna desde la cabeza hasta la rodilla es igual a la longitud de la pierna desde la rodilla hasta el pie.

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Debido a esto, la cabeza de Melvin y la línea donde todos sus pies tocan el suelo son dos características muy importantes de la parábola que conecta sus rodillas. Para presentar estas características, veamos la definición formal de parábola. La definición formal de una parábola es el conjunto de todos los puntos que están a la misma distancia de un solo punto de la parábola, llamado foco , y una línea de la parábola, llamada directriz .

Ahora, dejemos que Melvin ilustre esto. Vemos que la parábola que conecta sus rodillas es tal que la distancia de la cabeza de Melvin a la parábola es la misma que la distancia de la parábola al suelo. ¿Ves cómo esto se relaciona con la definición formal de una parábola? Si estás pensando que la cabeza de Melvin y el suelo tienen algún tipo de relación con el enfoque y la directriz de la parábola, ¡estás pensando correctamente!

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Dado que cada punto de la parábola está a la misma distancia de la cabeza de Melvin que al suelo, debe darse el caso de que la cabeza de Melvin sea el foco de la parábola y el suelo sea la directriz de la parábola. Bastante ordenado, ¿eh?

Un ejemplo

Echemos un vistazo a un ejemplo. La parábola que se muestra tiene su foco y directriz etiquetados, así como dos puntos en la parábola.

Ejemplo de parábola

Según la definición de una parábola, la distancia entre el foco y un punto de la parábola debe ser la misma que la distancia entre un punto de la parábola y la directriz. ¡Verifiquemos que este es el caso!

Primero, observemos el punto P 1 = (4, 2). Todo lo que necesitamos hacer es verificar que la distancia desde el foco F = (0, 2) al punto P 1 = (4, 2) es la misma que la distancia desde el punto P 1 = (4, 2) al directriz y = -2.

Cálculos de parábola

Vemos que FP 1 = 4 y que la distancia de P 1 a la directriz es 4. ¡Genial! Tal como implica la definición, las distancias son las mismas.

Hagamos lo mismo con el punto P 2 = (-8, 8), solo para estar seguros. Nuevamente, encontramos la distancia desde el foco F = (0, 2) al punto P 2 = (-8, 8), y encontramos la distancia desde el punto P 2 = (-8, 8) a la directriz y = -2, y verifique que sean iguales.

Cálculos de parábola

¡Increíble! Una vez más, ¡vemos que las distancias son las mismas! Tenemos que FP 2 = 10, y la distancia desde P 2 a la directriz es 10.

Resumen de la lección

Una parábola es una curva que representa una ecuación cuadrática y = ax 2 + bx + c . Tiene la forma de una U o una U invertida, y el punto más bajo o más alto de la parábola se llama vértice . La línea vertical que pasa por el vértice se llama eje de simetría de la parábola y la parábola es simétrica con respecto a esta línea.

La definición formal de una parábola es el conjunto de todos los puntos que están a la misma distancia de un solo punto de la parábola, llamado foco , y una línea de una parábola, llamada directriz . ¡Guauu! Es realmente genial ver las parábolas de esta manera, y es genial que tengamos a Melvin, la araña matemática, para ayudarnos.

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