Espacio muestral en estadística: definición y ejemplos

Espacio muestral

Decidiste realizar un experimento aleatorio de lanzar un solo dado justo con seis lados. Un experimento aleatorio es aquel en el que no se puede estar absolutamente seguro de cuál sería el resultado antes de realizar el experimento. Un resultado es un posible resultado del experimento. Cada lado del dado tiene 1, 2, 3, 4, 5 o 6 puntos. ¿Cuáles son todos los posibles resultados de este experimento? En una sola tirada del dado, puede mostrar 1, 2, 3, 4, 5 o 6 puntos. La lista exhaustiva de posibles resultados para este experimento es: 1, 2, 3, 4, 5, 6. El conjunto cuyos miembros son todos posibles resultados de un experimento aleatorio se llama espacio muestral para ese experimento. Para nuestro experimento de lanzamiento de dado, podemos escribir el espacio muestral como:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Un evento es un conjunto particular cuyos miembros son de un espacio muestral. Por ejemplo, el evento de que el dado muestre un número impar de puntos tiene como miembros 1, 3 y 5. Podemos escribir

E = {1, 3, 5}.

En esta lección, asumiremos que cada experimento es un experimento aleatorio.

Principio de conteo y diagrama de árbol

El principio fundamental de conteo es un concepto importante que se puede utilizar para determinar el número de miembros en un espacio muestral. El principio fundamental de conteo establece que si la primera actividad se puede realizar de m formas y una segunda actividad se puede realizar de n formas, entonces la primera actividad seguida de la segunda actividad se puede realizar en m veces n formas.

Analicemos el principio con un ejemplo sencillo. Suponga que realiza un experimento aleatorio simple que incluye dos pasos. Primero, lanza una moneda. Luego, lanza un dado. ¿Cuántos resultados diferentes hay para este experimento de dos pasos? Al lanzar una moneda, hay dos resultados posibles: Cara (H) y Cola (T). Al lanzar un dado, hay seis resultados posibles basados ​​en la cantidad de puntos en cada cara: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Los posibles resultados del experimento de dos pasos se muestran en el diagrama de árbol en la pantalla:

Diagrama de árbol que muestra los resultados de un experimento de dos pasos

Un diagrama de árbol es una forma organizada de escribir todos los posibles resultados de un experimento. Es una herramienta útil para determinar los miembros de un espacio muestral. También se puede utilizar para determinar los resultados de un evento. Tenga en cuenta que, dado que hay dos resultados posibles para la actividad de lanzamiento de monedas (paso 1) y seis resultados posibles para la actividad de lanzamiento de dados (paso 2), entonces hay doce resultados posibles (2 x 6 = 12) para las dos paso de experimento.

El principio fundamental de conteo puede extenderse a cualquier número finito de actividades. Cuando hay tres actividades:

Ejemplos

Repasemos ahora algunos ejemplos para poner en práctica lo que hemos aprendido.

Ejemplo 1 . Una maestra le dio a su clase un cuestionario de tres preguntas de verdadero o falso. Si a los estudiantes no se les permite dejar una pregunta sin respuesta y las únicas respuestas permitidas para cada pregunta son T (verdadero) o F (falso), ¿cuántos resultados posibles diferentes hay? ¿Cuáles son las diferentes formas posibles de responder al cuestionario?

Responder:

Hay dos formas de responder a la primera pregunta (V o F), dos formas de responder a la segunda pregunta (V o F) y dos formas de responder a la tercera pregunta (V o F). Según el principio fundamental de conteo, hay 2 veces 2 veces 2 = 8 formas de responder la prueba. Es decir, hay 2 ^ 3 = 8 posibles resultados distintos.

Este diagrama de árbol a continuación muestra todos los posibles resultados distintos.

El camino rojo muestra cómo se produce el cuestionario con las respuestas TTF.

Ejemplo 2 . Un nutricionista está diseñando un plan de alimentación para una escuela secundaria local. Cada plato tendría un carbohidrato, una proteína, una verdura y un lácteo. La tabla muestra lo que la escuela tiene disponible en la cafetería para cada grupo de alimentos.

¿Cuántos platos diferentes se pueden formar en base a lo que la escuela tiene disponible en la cafetería? ¿Cuántos de estos platos tienen arroz y salmón? Enumere todos los platos con arroz y salmón.

Responder:

Hay dos opciones de carbohidratos, tres opciones de proteínas, tres opciones de vegetales y dos opciones de lácteos. Aplicando el principio fundamental de conteo, hay 2 veces 3 veces 3 veces 2 = 36 platos diferentes. De estos platos, hay 3 (número de opciones de verduras) multiplicado por 2 (número de opciones de lácteos) = 6 platos con arroz y salmón. Para los platos con arroz y salmón, solo pueden variar las verduras y los lácteos.

Los platos con arroz y salmón son:

Ejemplo 3 . La contraseña de un empleado para su correo electrónico personal debe constar de tres caracteres. Cada carácter debe ser un solo dígito, es decir, cualquier dígito del 0 al 9. ¿Cuántas contraseñas diferentes se pueden formar?

Responder:

Dado que hay tres caracteres y cada carácter debe ser de un solo dígito (0 a 9), entonces, según el principio de conteo fundamental, hay 10 veces 10 veces 10 = 1,000 posibles contraseñas distintas que se pueden formar.

Resumen de la lección

El espacio muestral de un experimento aleatorio es el conjunto de todos los resultados posibles del experimento. Para un experimento de varios pasos, se puede utilizar un diagrama de árbol para determinar los miembros de un espacio muestral. El principio de conteo fundamental se puede utilizar para determinar el número de miembros de un espacio muestral.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador