Expansión decimal de números racionales

Números sin fin

A veces, en matemáticas puede parecer que los números que vemos siguen y siguen sin un patrón real. Y a veces, ese es el caso. Sin embargo, más a menudo, esos números terminan terminando o repitiéndose para siempre.

Cuando expresamos un número como decimal, se llama expansión decimal. La expansión decimal es la forma de un número que tiene un punto decimal, ya sea real o implícito. Ejemplos de números con puntos decimales reales son 10,2 y 0,0084. Un ejemplo de un número con puntos decimales implícitos es el número entero 17, que en realidad podría escribirse como 17,000000000000. A menudo dejamos de lado los ceros repetidos para facilitar la lectura y el cálculo.

Los decimales terminan o se repiten, lo cual es una característica de los números racionales. Cuando usamos el término racional en matemáticas, no estamos hablando de un número que tenga sentido lógico. Los números racionales se pueden escribir como una fracción de dos números enteros o como una razón.

Decimales finitos y repetidos

Los decimales racionales que terminan con ceros repetidos se conocen como decimales finitos , como 6/3 = 2 o 10 / 2.5 = 4. Son lo opuesto a infinito o para siempre. Los decimales racionales que son finitos son aquellos que se originan a partir de una fracción con un denominador que es un producto de 2, 5 o ambos. Por ejemplo, 3/8, 13/25 y 7/50 son todos decimales finitos porque:

8 = 2 ^ 3

25 = 5 ^ 2

50 = 5 ^ 2 * 2

Los decimales racionales que se repiten para siempre se conocen como decimales repetidos . Los decimales repetidos se originan a partir de fracciones cuyos denominadores no son completamente productos de 2 y 5 únicamente. Por ejemplo, 3/14 y 7/22 son decimales repetidos porque 14 = 2 * 7 y 22 = 2 * 11. El número de dígitos que se repiten se conoce como el período del decimal periódico.

Por ejemplo:

• Los tercios tienen un período de 1 (1/3 = 0, 3 333333 …)
• Los undécimos tienen un período de 2 (2/11 = 0, 18 18181818….)
• Los séptimos tienen un punto de 6 (2/7 = 0. 285714 285714285714… ..)

Conversión de decimales repetidos en números racionales

Si queremos demostrar que un decimal periódico es racional, podemos usar los siguientes pasos simples:

1. Identifica el período del decimal periódico y eleva 10 a esa potencia
2. Establezca el decimal repetido original igual ax , que es la ecuación A
3. Multiplica ambos lados de la ecuación A por 10 elevado a la potencia del período para la ecuación B
4. Reste la ecuación A de la ecuación B y resuelva

El resultado será su decimal periódico en forma racional.

Por ejemplo, convierta 0.2727272727272727 … en un número racional

1. El período es 2, por lo que 10 ^ 2 = 100

2. x = 0,272727272727….

3. 100 x = 27.272727272

4. (100 x = 27,272727272) – ( x = 0,272727272727….)

5. 99 x = 27

6. x = 27/99 = 3/11

El decimal 0.2727272727 …. es el número racional 3/11. Este método funciona para cualquier decimal periódico de cualquier período periódico.

Resumen de la lección

Los números se pueden representar de muchas formas diferentes, una de las cuales es la expansión decimal. Los números expresados ​​mediante expansión decimal contienen un punto decimal, que puede ser real o implícito; por ejemplo: 7 = 7.0. En esta lección, nos enfocamos en números racionales y decimales racionales .

Los decimales racionales pueden ser finitos o repetidos. Los decimales finitos terminan, como 0.5 y 0.375. Los decimales son terminales solo cuando sus fracciones representativas tienen denominadores que son enteramente múltiplos de 2 o 5. Todos los demás son decimales repetidos . Por ejemplo: 1/3 = 0.333333…., Donde el número de dígitos que se repiten se llama período .

Los decimales repetidos se pueden convertir en números racionales de la siguiente manera:

1. Identificar el período de repetición del decimal y elevar 10 a esa potencia
2. Escribir una ecuación donde x es igual a un decimal periódico o la ecuación A
3. Multiplicar ambos lados de la ecuación A por el resultado obtenido en el primer paso para la ecuación B
4. Restar la ecuación A de la ecuación B y resolver x

Rodrigo Ricardo Editor y fundador