Factorizar expresiones cuadráticas: ejemplos y conceptos

¿Qué es una expresión cuadrática?

Una expresión cuadrática es cualquier expresión matemática cuya potencia o grado sea dos. En otras palabras, cualquier expresión que utilice variables en las que el exponente más alto o el grado de la expresión sea dos es una expresión cuadrática. La expresión debe tener una potencia de dos, ni mayor ni menor. Aquí hay unos ejemplos:

Ejemplos de expresiones cuadráticas

Todas estas son expresiones cuadráticas. ¿Observa cómo, en cada expresión, el mayor exponente o potencia es dos? En la jerga matemática, diría que el grado de cada expresión es dos. Pero espera, ¿qué pasa con la tercera expresión? ¿No tiene ese un exponente más alto? Sí lo hace. Aquí es donde puede ser complicado.

Solo recuerde qué variable le preocupa. Nos preocupan las cuadráticas, así que en la tercera expresión, la x es la variable que nos preocupa porque es la que nos da nuestra cuadrática. Ves cómo la x va de x ^ 2 ax a 1. Cae muy bien como debería hacerlo una buena expresión cuadrática. Aunque la variable y tiene un grado de cuatro, eso no nos preocupa porque nuestra cuadrática involucra la variable x. Si nos dicen que estamos trabajando con cuadráticas, buscaremos la variable que nos dará una cuadrática. Sigue leyendo y verás cómo encaja todo.

¿Puedes factorizarlo?

Otra pregunta que puede tener en este punto es si todas las expresiones anteriores son factorizables. La respuesta simple a eso es no. Solo tres de los cuatro pueden factorizarse. ¿Puedes adivinar cuáles son?

Antes de entrar en factorización, veamos qué sucede cuando multiplicamos dos factores.

Cómo se multiplican los factores

Sí, obtenemos una expresión cuadrática de aspecto agradable. Pero, ¿puedes identificar cómo los números en nuestra respuesta provienen de los factores? Mira cuidadosamente. El último número de nuestra cuadrática proviene de multiplicar los últimos números de nuestros factores. El término medio, en este caso 0, proviene de sumar esos números multiplicados por la variable. En este ejemplo, nuestros dos números de los factores son 2 y -2. Cuando se multiplican, obtenemos -4. Cuando se multiplica por la variable y se suma, obtenemos 0. Y simplemente escribimos nuestra cuadrática como tal.

Veamos otro ejemplo.

Otro ejemplo de cómo los factores se multiplican

¿Puedes ver cómo todos los números funcionan juntos ahora? Los últimos números de nuestros factores son 2 y 3. Multiplícalos y obtendrás 6. Multiplícalos con la variable y suma, y ​​obtienes 5 x. ¿Empieza a ver un patrón?

Cómo verificar la factorización

Cuando se trata de comprobar si una cuadrática es factorizable o no, pasaremos por un proceso similar. Preguntaremos si dos números se pueden multiplicar para obtener nuestro último número y sumarlos para obtener nuestro número del medio.

Nuestra primera expresión, x ^ 2, cuando se le da ese cheque, pasa. Escrita en su forma completa, la expresión cuadrática se convierte en x ^ 2 + 0 x +0. El último número es 0 y el número del medio también es 0. Me digo a mí mismo: ‘¿Qué dos números, cuando se multiplican juntos, darán 0 y cuando se suman también darán 0?’ Mi respuesta es 0 y 0. Entonces puedo factorizar la expresión x ^ 2 en ( x +0) ( x +0).

Mirando la segunda expresión, y ^ 2 + 2 y -1, veo que mi último número es -1 y mi número del medio es 2. Así que me pregunto, ‘¿Qué dos números se multiplicarán por -1 y sumarán 2? ? ‘ Bueno, los únicos dos números que se multiplicarán por -1 son 1 y -1. Pero estos no pueden sumar 2. Así que esta expresión no es factorizable y no puedo trabajar con ella.

Las otras dos expresiones también se pueden factorizar. Hágalo usted mismo para verlo. Una pista para la tercera expresión es que el último número es el último término completo, y ^ 4. Piensa: ‘¿Qué dos términos cuando se multiplican te darán y ^ 4?’

Cómo factorizar una expresión cuadrática

Factoricemos la tercera expresión para ver qué nos da. Si hizo la verificación con éxito, encontrará que los dos términos o ‘números’ que se multiplican por y ^ 4 son y ^ 2 e y ^ 2. Pensando algebraicamente, cuando multiplica estos dos ‘números’ por la variable x y los suma, obtendrá el número del medio 2 xy ^ 2. Entonces nuestros factores son y ^ 2 y y ^ 2. ¿Recuerdas cómo pasamos de la forma factorizada a la forma cuadrática? Haremos lo contrario al factorizar. El proceso se verá así.

Así es como factorizamos una cuadrática.

¿Ves como vamos en reversa? Ahora intente factorizar la última expresión, v ^ 2-4.

Resumen de la lección

La factorización de expresiones cuadráticas comienza comprobando primero si se pueden factorizar o no. Si es posible, se trata de encontrar dos números que, al multiplicarlos, te darán el último número y, al sumarlos, te darán el número del medio.

Los resultados del aprendizaje

Concluya la lección antes de intentar:

• Reconocer una expresión cuadrática
• Determina cómo puedes factorizar una expresión
• Verifique el factoring
• Factorizar expresiones cuadráticas

Rodrigo Ricardo Editor y fundador