Funciones explícitas: definición y ejemplos

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¿Qué es una función explícita?

En el ámbito de las matemáticas, probablemente tengamos pocos problemas para comprender el concepto de función. Una función es una expresión que genera una salida única para cada entrada. Ahora bien, la palabra explícito es un adjetivo que describe algo que se expresa con claridad. Por ejemplo, las señales de alto que vemos en nuestras carreteras son generalmente explícitas. Hacen una declaración muy clara y proporcionan una instrucción clara.

Señal de stop

Entonces, ¿qué es una función explícita? Una función explícita es una función que se expresa claramente. Por tanto, debería ser fácil de entender y aplicar. Más precisamente, es una función que se escribe en términos de una variable independiente o de entrada. Por lo general, escribimos funciones explícitas como una variable en términos de otra variable. Un ejemplo simple de una función explícita es una función lineal, como y = 4 x – 7. Esta función se escribe como la variable dependiente y en términos de la variable independiente x . Se expresa claramente y podemos evaluar fácilmente los valores de la variable independiente. Si usamos la notación de funciones, podemos escribir esta función explícita como f ( x ) = 4 x – 7. Una función explícita es generalmente una regla para evaluar valores de la variable independiente. La regla nos dice qué se hace con la variable independiente para producir una salida. En el ejemplo que acabamos de ver, la función explícita nos dice que multipliquemos la variable independiente por 4 y luego restemos 7 de este producto. Por ejemplo, encontremos el valor de la función cuando x = 5: y = 4 (5) – 7 y = 20 – 7 y = 13 Ahora veremos otros ejemplos de funciones explícitas.

Ejemplos

Funciones cuadráticas

Una función cuadrática es una función explícita cuando se muestra en la forma estándar y = ax ^ 2 + bx + c . Por ejemplo, la siguiente función cuadrática es una función explícita: y = 3 x ^ 2-4 x + 10. Esta función se escribe en términos de la variable independiente x .

Secuencia aritmética

La regla para una secuencia aritmética se puede mostrar como una función explícita. Consideremos la siguiente secuencia aritmética: 3, 8, 13, 18, 23,… Esta secuencia aritmética tiene un primer término de 3 y una diferencia común de 5. La regla explícita general para una secuencia aritmética es la siguiente: una ( norte ) = una (1) + ( norte – 1) d El n º término de una secuencia aritmética es a menudo representada por una ( n ). Por ejemplo, el primer término de una secuencia aritmética es un (1) y el décimo término de una secuencia aritmética es un (10). Los números al lado de la letra a generalmente se escriben como subíndices, pero a veces se usarán paréntesis en esta lección. La diferencia común de una secuencia aritmética está representada por la letra d . Regresemos a nuestro ejemplo original de una secuencia aritmética y reemplacemos a (1) con el primer término 3 yd con la diferencia común 5. Entonces obtenemos lo siguiente: una ( norte ) = 3 + ( norte – 1) 5 Ahora tenemos una regla explícita para la secuencia aritmética. En otras palabras, tenemos una función explícita que se escribe en términos de la variable independiente n . Podemos hacer que la función sea más eficiente simplificando: a ( n ) = 3 + 5 n – 5 (distribuir el 5) a ( n ) = -2 + 5 n (combinar términos semejantes) Ahora es fácil encontrar cualquier número en la secuencia. Es posible que haya notado que la regla explícita para una secuencia aritmética es una función lineal. Encontremos el término 67 de la secuencia. Si n = 67, evaluamos a (67) de la siguiente manera: a (67) = -2 + 5 (67) a (67) = -2 + 335 a (67) = 333 El término 67 de la secuencia es 333.

Secuencia geométrica

La regla para una secuencia geométrica se puede mostrar como una función explícita. Consideremos la siguiente secuencia geométrica: 4, 12, 36, 108, 324,… Esta secuencia geométrica tiene un primer término de 4 y una razón común de 3. Observa que cada término es un producto del término anterior y el número 3. Por ejemplo, 4 (3) = 12, 12 (3) = 36, etc. La regla explícita general para una secuencia geométrica es la siguiente: una ( norte ) = una (1) r ^ ( norte – 1) Esta regla general se muestra aquí (Figura 1). Similar a una función aritmética, el n ésimo término de una sucesión geométrica es a menudo representada por una ( n ). La razón común de una secuencia geométrica está representada por r .

Figura 1: Regla explícita para una secuencia geométrica

Regresemos a nuestro ejemplo original de una secuencia geométrica y reemplacemos a (1) con el primer término 4 y r con la razón común 3. Entonces obtenemos lo siguiente: una ( norte ) = 4 (3) ^ ( norte – 1) Ahora, podemos tener una regla explícita para la secuencia geométrica. En otras palabras, tenemos una función explícita que se escribe en términos de la variable independiente n . Ahora podemos encontrar fácilmente cualquier número en la secuencia. Encontremos el duodécimo término de la secuencia. Si n = 12, evaluamos a (12) de la siguiente manera: a (12) = 4 (3) ^ (12-1) a (12) = 4 (3) ^ 11 a (12) = 4 (177,147) a (12) = 708,588 El duodécimo término de la secuencia geométrica es 708,588 Todas las secuencias no son aritméticas ni geométricas. Consideremos la siguiente secuencia: 1, 4, 9, 16, 15, … El patrón muestra que esta secuencia es el cuadrado de los números enteros positivos. Podemos escribir la regla explícita de la siguiente manera: un ( n ) = n ^ 2 También podríamos escribir esta regla explícita como una función cuadrática simple: y = x ^ 2. La única diferencia es que la ecuación cuadrática implica que también podemos evaluar números que no sean enteros positivos, como enteros negativos. Una función de trigonometría, como y = cos x o y = tan x , es una función explícita porque se escribe como una variable en términos de otra variable.

Resumen de la lección

Revisemos. Una función explícita es una función que a menudo se escribe como una variable, o variable dependiente, en términos de otra variable o variable independiente. Sin embargo, también podemos usar la notación de función , como f ( x ), y la notación de secuencia, como a ( n ), en lugar de la variable dependiente. Las funciones explícitas son discernibles y proporcionan una forma eficiente de evaluar los valores de la variable independiente. Las funciones lineales y las funciones cuadráticas son solo un par de ejemplos de funciones explícitas. Cuando escribimos reglas explícitas para secuencias aritméticas y geométricas , también hemos creado funciones explícitas.

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