Funciones por Partes: Definición, evaluación y ejemplos

¿Qué es una función por partes?

Una función por partes es una función definida por una serie de intervalos para la variable independiente. Muestra una función diferente para un intervalo particular de números reales. Tome el siguiente ejemplo:

{eq}f(x)= \left\{\begin{matriz} x^2\,,for\, x<-1\\3x-1\,,for\,x\geq -1 \end{matriz }\bien. {/eq}

Según esta función, para cada valor menor que {eq}-1 {/eq}, la expresión a evaluar es {eq}x^2 {/eq}; mientras que para todos los valores {eq}-1 {/eq} y superiores, evalúe la expresión {eq}3x-1 {/eq}. Esto significa que en una función por partes, el valor de x determina qué expresión se evaluará. Otro ejemplo de función por partes es la función de valor absoluto. La función de valor absoluto se puede escribir como {eq}f(x)=|x| {/eq}.

Sin embargo, observe que hay tres condiciones distintas para esa función específica: la primera condición es que la función sea negativa cuando x es negativa; cero cuando x es cero y positivo cuando x es positivo. Usando una función por partes, la función absoluta se ve así:

{eq}f(x)=|x|=\left\{\begin{matriz} -x & para\,x<0\\ 0 & para\,x=0 \\ x & para\,x>0 \\ \end{matrix}\right. {/eq}

Esto significa que el valor de la función difiere dependiendo del valor colocado para x. Para nuestro ejemplo final, eche un vistazo a esta función:

{eq}f(x)=\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}& si\,x<1 \\ x^2& si\,1\leq x\leq 3 \\ x+3& si \,x>3 \\ \end{matrix}\right. {/eq}

Esta función tiene tres partes diferentes, {eq}\sqrt{x} {/eq} para todos los valores menores que 1, {eq}x^2 {/eq} para todos los valores entre 1 y 3 (incluidos 1 y 3) y finalmente, {eq}x+3 {/eq} para todos los valores mayores que tres. El valor exacto de x determinará la función que debe evaluarse.

Dominio y rango de una función por partes

Por definición, el dominio de una función es un conjunto de valores aceptables para la variable independiente (en este caso, x ) que se pueden insertar en la función. Piense en el dominio de una función como ¿qué puede ser x? Debido a la definición de función por partes, es posible que sea necesario examinar diferentes tipos de funciones para determinar su dominio debido a la segmentación de los valores de x. El dominio en un intervalo de la función por partes puede tener un dominio diferente al de la segunda parte de la función. Examine el ejemplo ilustrado anteriormente:

{eq}f(x)= \left\{\begin{matriz} x^2\,,for\, x<-1\\3x-1\,,for\,x\geq -1 \end{matriz }\bien. {/eq}

La primera parte de la función por partes es una expresión cuadrática. El dominio de una expresión cuadrática es el conjunto de todos los números reales ya que no se puede excluir ningún valor de x. Sin embargo, observe que la función es cuadrática para todos los valores menores que -1. Si {eq}x=-1 {/eq}, examina el dominio de la segunda pieza. En la segunda pieza, hay una ecuación lineal. El dominio de todas las ecuaciones lineales es el conjunto de los números reales. Dado que no hay valores excluidos para la variable independiente en ninguna de las partes, el dominio para todo el ejemplo de función por partes es el conjunto de todos los números reales.

El rango de una función son los valores posibles para y que la función puede generar después de operarla. Sin embargo, en una función definida por partes, necesitaríamos examinar los valores de y al evaluar y graficar la función. Mire el gráfico del ejemplo que usamos anteriormente:

{eq}f(x)= \left\{\begin{matriz} x^2\,,for\, x<-1\\3x-1\,,for\,x\geq -1 \end{matriz }\bien. {/eq}

Observe el gráfico a la izquierda de -1. El rango de la parte izquierda de la función son todos los valores hasta x = 1, o {eq}y\geq-1 {/eq}. No incluya el 1 en el rango de este lado, porque la función no está definida para {eq}x=-1 {/eq} ya que este valor se asignaría a la otra parte de la función. En la otra parte de la función, el valor de y cuando {eq}x=-1 {/eq} es -4, por lo tanto, el rango para la segunda parte de la función es {eq}y\geq -4 {/eq }. Para encontrar el rango de una función por partes, unifica cada rango y júntalos de una manera que tenga sentido. En este ejemplo, el rango de la primera parte también se incluye en la segunda parte, por lo tanto, el rango de toda la función son todos los valores de y mayores o iguales a -4, o {eq}y\geq-4 {/eq }.

Ejemplo 1: encontrar el dominio y el rango de una función por partes

Encuentre el dominio y rango de la siguiente función por partes:

{eq}f(x)=\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}& si\,x<1 \\ x^2& si\,1\leq x\leq 3 \\ x+3& si \,x>3 \\ \end{matrix}\right. {/eq}

Esta función por partes se muestra en el siguiente gráfico:

Para encontrar el dominio, examine cada una de las tres condiciones por separado. En la primera función, el dominio son todos los valores mayores o iguales a 0, ya que es una función de raíz cuadrada. Las siguientes dos partes de la función, {eq}x^2 {/eq} y {eq}x+3 {/eq}, son funciones cuadráticas y lineales, respectivamente. Ambos tipos de funciones tienen el mismo dominio: x pueden ser todos números reales. En el gráfico, observe que los valores de «x» comienzan cuando x es 0, por lo que el dominio para todo el ejemplo de función por partes es {eq}x\geq0 {/eq}.

Para encontrar el rango de la función por partes, examina los valores de y. Examina cómo se comporta y en cada parte funcional. El rango de la primera parte de la función es {eq}y\leq0 {/eq}. El rango de la segunda parte de la función es {eq}1\leq y\leq9 {/eq} y el rango de la última parte es {eq}y>6 {/eq}. Hay una superposición con respecto a los rangos entre el segundo y el tercero, pero no hay espacios ni interrupciones en los valores de salida a medida que x aumenta. Por lo tanto, el rango de toda la función por partes es {eq}y\geq0 {/eq}.

Graficar una función por partes

Para graficar una función por partes, siga estos pasos:

1. Haga una tabla para cada función e incluya sus respectivos intervalos de entrada.
2. Complete cada tabla encontrando sus valores de salida.
3. Dibuja cada pieza funcional con cuidado. Agregue puntos abiertos o cerrados en los puntos finales de cada parte de función para ilustrar los valores inclusivos y excluidos de la entrada.

Ejemplo 2: Graficar una función por partes

Grafica la siguiente función:

{eq}f(x)= \left\{\begin{matriz} x^2\,,for\, x<-1\\3x-1\,,for\,x\geq -1 \end{matriz }\bien. {/eq}

Primero, aquí está la tabla de valores de la primera pieza: {eq}x^2 {/eq}

Recuerda que cada par es un punto en la gráfica, traza los puntos y dibuja la primera parte de la función.

Ahora haz lo mismo con la segunda pieza, {eq}3x-1 {/eq}:

Escribe los pares resultantes de cada expresión y úsalos para dibujar la gráfica:

Observe que el gráfico anterior tiene dos puntos únicos cuando x es igual a -1. Al trazar puntos en el gráfico, tenga cuidado cuando haya dos valores de salida para una sola entrada, provenientes de partes diferentes. Observe que la primera parte de la función graficada, {eq}x^2 {/eq}, es para todos los valores inferiores a -1. Dado que el dominio de esta parte de la función NO incluye -1, el punto (-1, 1) debe ser un punto abierto (punto), mientras que el segundo punto (-1, 4) se traza con un punto cerrado.

Evaluación de funciones por partes

Para evaluar una función por partes, siga estos pasos:

1. Determine en qué intervalo se encuentra el valor dado para x.
2. Sustituye ese valor en su función correspondiente.
3. 
   Evalúa la expresión.

Ejemplo 3: evaluación de funciones por partes

En la función por partes que se muestra a continuación, encuentre {eq}f(-2)\,,f(-1)\,.and\,f(4) {/eq}. {eq}f(x)= \left\{\begin{matriz} x^2\,,for\, x<-1\\3x-1\,,for\,x\geq -1 \end{matriz }\bien. {/eq}.

Para f(-2), el valor se encuentra en el primer intervalo, {eq}x<-1 {/eq}. La expresión para todos los valores menores que -1 es {eq}x^2 {/eq}. Luego evaluamos:

{eq}f(-2)=x^2=(-2)^2=4 {/eq}

Entonces, {eq}f(-2) = 4 {/eq}. Seguimos el mismo proceso para f(-1) y f(4). Al evaluar -1, observe que usaremos la segunda expresión, 3x – 1 porque en esta función por partes, -1 pertenece al segundo intervalo. Ahora evaluamos f(-1) y f(4) usando la expresión 3x – 1.

{eq}f(-1)=3x-1=3(-1)-1=-4 {/eq}

{eq}f(4)=3x-1=3(4)-1=11 {/eq}

Por tanto, {eq}f(-1)=-4\,y\,f(4)=11 {/eq}.

Ejemplo de función por partes del mundo real

En una tienda de útiles escolares, Harry quiere hacer 1200 copias de su volante. La tienda cobra 4 centavos por cada copia más una tarifa de servicio de $3,50 por todos los pedidos de menos de 600 copias. Para 600 copias o más, el cliente renuncia a la tarifa de servicio y se le cobran 3 centavos por copia. Grafique la función que representa este problema. Luego encuentra el dominio y el rango. ¿Cuánto pagaría Harry por 1200 copias?

Este es un ejemplo de función por partes ya que tiene dos fórmulas diferentes dependiendo del número de copias. Sea f(x) el costo total después de comprar x copias. La primera expresión, para menos de 600 copias es: {eq}0,04x+3,50 {/eq}. La segunda función, para 600 copias o más, es {eq}0,03x {/eq}. En conjunto, esta es la gráfica de la función por partes.

{eq}f(x)=\left\{\begin{matrix} 0.04x+3.50&if\,x<600 \\ 0.03x&if\,x\geq600 \\ \end{matrix}\right. {/eq}

Dado que ambas funciones son ecuaciones lineales, el dominio de ambas ecuaciones es el conjunto de los números reales. Por tanto, el dominio de la función por partes es el conjunto de todos los números reales. Al examinar el rango, verifique si hay una brecha entre los valores de salida para 600 copias. Para el rango, examine el siguiente gráfico:

Hay un hueco en 600 ejemplares. Sin embargo, los valores de salida se superponen y no hay «saltos» en la salida. Por tanto, el rango de la función es el conjunto de todos los números reales.

Para evaluar cuánto costarían 1200 copias, use la segunda ecuación: {eq}f(1200)=0,03(1200)=36 {/eq}. Entonces Harry pagará $36 dólares por 1,200 copias.

Resumen de la lección

Una función por partes, también conocida como función definida por partes, es una función que tiene una regla diferente dependiendo de los intervalos que se encuentran en el dominio de la función. Cuando trabaje con funciones por partes, tenga cuidado al determinar el dominio y el rango (más específicamente, si hay espacios en los valores de salida). Al evaluar una función por partes, primero determine a qué intervalo pertenece el valor indicado y luego evalúe la expresión resultante para ese valor.

En el mundo real, un ejemplo de función por partes sería el siguiente: al trabajar horas extras, a un trabajador se le paga 1,5 veces el salario por hora después de trabajar 8 horas al día. El salario por hora es de $25 por hora. Este es un ejemplo de una función definida por partes ya que, para todos los valores entre 0 y 8, al trabajador se le pagará la misma cantidad por hora. Cuando el número excede 8, el pago del trabajador aumenta a 1,5 veces la tarifa por hora, que es 25. Así se escribe la ecuación:

{eq}rue f(x)=\left\{\begin{matrix} 25x & 0\leq x\leq 8 \\ 1.5(25x)&x>8 \\ \end{matrix}\right. {/eq}

Donde f(x) es el ingreso total después de trabajar x número de horas. El dominio de la función por partes son todos los valores mayores que 0 porque, en contexto, las horas negativas no existen. El rango de la función por partes también son todos los valores mayores que 0. Si ambas ecuaciones se evalúan para x es igual a 8, no hay salto en los problemas lineales.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador